Processo de construção geral

Para considerar outros processos de construção de novos polígonos, experimente o seguinte applet:

Instruções: clique nos vértices do polígono inicial P (a azul) e arraste-os, de modo a obter um novo polígono Q (a vermelho). Pode escolher o número de pontos do polígono inicial (até um máximo de seis) e os valores dos MATH que surgem na matriz

MATH

que permite obter as coordenadas de Q a partir das coordenadas de P.

Pode também saber qual o valor do determinante desta matriz, que será nulo no caso do polígono inicial determinar univocamente o polígono obtido e diferente de zero caso contrário. Note que os centros gravíticos dos dois polígonos (pontos com a forma de quadrados) nem sempre coincidem, ao contrário do que acontecia com os processos dos applets anteriores. De facto, tal acontece apenas quando a soma dos MATH é igual a 1.

Se quiser, pode considerar apenas valores de MATH não negativos e cuja soma é 1 (designados por valores usuais, uma vez que os processos dos applets anteriores correspondem a este tipo de valores). Assim, observe como:

- se MATH e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, temos o processo de bissecção;

- se MATH, MATH e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, temos o processo de trissecção;

- se, para algum p entre 0 e 1, $\alpha _{0}=1-p$, $\alpha _{1}=p$ e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, temos o processo de divisão geral dos lados do polígono;

- se MATH e $\alpha _{j}=0$ para $j\neq 1,n-1$, temos o processo de bissecção das diagonais que unem vértices alternados;

e assim sucessivamente, podemos obter qualquer um dos processos considerados nos applets anteriores (note que, para quaisquer uns destes valores, os centros gravíticos dos dois polígonos coincidem).

No caso de o número de vértices ser ímpar, é também possível obter o processo inverso da bissecção (isto é, encontrar o polígono que, por bissecção, dá origem ao polígono inicial), embora não com valores usuais de MATH uma vez que alguns são negativos. Consegue descobrir com que valores?