Divisão geral do lado de um hexágono

Para uma versão animada (com o parâmetro p a variar continuamente entre 0 e 1) deste applet no espaço, clique aqui.

Instruções: clique nos vértices do hexágono inicial (pontos a azul) e arraste-os, observando os vários hexágonos obtidos por divisão de cada lado em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, p e 1 - p vezes maior do que o comprimento desse lado, com 0 < p < 1. Para mudar o parâmetro p, basta deslocar o ponto verde.

Note que, para valores de p próximos de 1/2, os hexágonos obtidos parecem ter uma forma mais "regular" do que para valores afastados de 1/2. No entanto, independentemente do valor de p, os hexágonos obtidos tendem sempre para hexágonos "regulares", ou seja, com os lados opostos paralelos entre si e paralelos a uma das diagonais. Simplesmente, esta convergência é tanto mais rápida quanto mais próximo de 1/2 estiver o valor de p. Porque será?