Demonstração trigonométrica

Demonstração trigonométrica

Em primeiro lugar, vamos deduzir uma fórmula trigonométrica que será bastante útil. Dado um ângulo qualquer, temos:

$\sin x$ MATH

Sejam $a=C\widehat{A}B$ , $b=A\widehat{B}C$ , $c=B\widehat{C}A$ e o circunraio de $\left[ ABC\right]$ . Então, aplicando a lei dos senos ao triângulo $\left[ ABC\right]$ , temos:

Consideremos agora o triângulo $\left[ DBC\right]$ . As amplitudes dos seus ângulos são dadas por:

, e .

Aplicando a lei dos senos ao triângulo $\left[ DBC\right]$ , temos:

MATH

Analogamente, considerando agora o triângulo $\left[ AEC\right]$ , temos:

Note-se que , logo é possível construir um triângulo com ângulos de amplitude $\frac{a+\pi }{3}$ , $\frac{b+\pi }{3}$ e $\frac{c}{3}$ . Supondo ainda que o seu circunraio é dado por , pela lei dos senos os lados adjacentes ao ângulo de amplitude $\frac{c}{3}$ terão como medida os mesmos valores obtidos para $\overline{DC}$ e $\overline{EC}$ .

Este triângulo é congruente com o triângulo $\left[ EDC\right]$ pelo facto de terem um ângulo igual e os lados adjacentes a esse ângulo iguais, sendo este um dos critérios de congruência de triângulos. Portanto, temos: