Quadrado

Seja MATH um quadrado, $d$ a medida da sua diagonal e $l$ a medida do seu lado. Suponhamos que as duas grandezas são comensuráveis, isto é, $d=mx$ e $l=nx$ para alguma medida comum $x$ e para alguns números inteiros positivos $m$ e $n$.

Marcamos o ponto $E$ na diagonal $\left[ AC\right] $ tal que MATH e o ponto $F$ no lado $\left[ AB\right] $ tal que $EF\perp $ $AC$. Como MATH, o triângulo $\left[ ABC\right] $ é isósceles e, como MATH, temos MATH. Como MATH e MATH, vem MATH, pelo que $\left[ AFE\right] $ é isósceles, com MATH. Como $\left[ FBC\right] $ e $\left[ FEC\right] $ são triângulos rectângulos com a mesma hipotenusa e com um dos catetos igual (MATH), pelo teorema de Pitágoras o outro cateto também é igual, MATH.

Construindo o ponto $G$, ponto de intersecção da recta paralela a $AE $ e que passa no ponto $F$ com a recta paralela a $EF$ e que passa no ponto $A$, obtemos um novo quadrado MATH. Designando por $d_{1}$ a medida da sua diagonal e $l_{1}$ a medida do seu lado, temos:

MATH

MATH

Como $d=mx$ e $l=nx$, temos:

MATH

MATH

onde $n_{1}=m-n$ e $m_{1}=2n-m$ são dois números inteiros positivos, com $m_{1}<m$. De facto, MATH, o que é absurdo uma vez que a diagonal de qualquer quadrado é sempre maior do que o seu lado.

Procedendo da mesma forma com o quadrado MATH, vamos obter um novo quadrado cuja diagonal é $d_{2}=m_{2}x$ e cujo lado é $l_{2}=n_{2}x$, sendo que $n_{2}=m_{1}-n_{1}$ e $m_{2}=2n_{1}-m_{1}$ são dois números inteiros positivos, com $m_{2}<m_{1}<m$.

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos quadrados, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos:

MATH

tal que MATH o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que $m$ (de facto, existem exactamente $m-1$ elementos: $1$,$2$,$3$,...,$m-2$, e $m-1$). Logo, a diagonal e o lado de MATH são grandezas incomensuráveis.