Dodecágono regular

Consideremos um dodecágono regular para o qual os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ são vértices consecutivos, $d$ a medida da sua segunda diagonal mais curta e $l$ a medida do seu lado. Supondo que $d$ e $l$ são comensuráveis, temos $d=mx$ e $l=nx$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos e $x$ é uma medida comum à segunda diagonal mais curta e ao lado do dodecágono. Note-se que cada lado é uma corda da circunferência de centro $O$ que circunscreve o polígono à qual corresponde um arco de amplitude MATH. Marcamos o ponto $E$ na diagonal $\left[ AD\right] $ tal que MATH. Então, como $\left[ AEB\right] $ é isósceles e MATH, vem MATH. Além disso, MATH, logo a diagonal $\left[ AD\right] $ é paralela ao lado $\left[ BC\right] $. Marcamos agora o ponto $F$ na diagonal $\left[ AD\right] $ tal que MATH. Então, como $\left[ EF\right] $ é paralelo a $\left[ BC\right] $, MATH é um paralelogramo, pelo que MATH. Como MATH, queremos ter um ponto $G$ na semi-recta $DC$ tal que MATH. Seja $G$ o ponto na semi-recta $DC$ tal que MATH. Como $\left[ AE\right] $ é paralelo a $\left[ BC\right] $ e MATH, MATH é um paralelogramo, pelo que MATH. Então, vem MATH e $\left[ ECD\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Como MATH e MATH, o triângulo $\left[ EGC\right] $ é equilátero, com MATH. Além disso, como MATH, o triângulo rectângulo $\left[ FEG\right] $ é isósceles, pelo que MATH. Logo, MATH, como pretendíamos.

Como MATH e MATH, temos que os triângulos $\left[ ACD\right] $ e $\left[ DFG\right] $ são semelhantes, pelo que $\left[ DG\right] $ é a segunda diagonal mais curta de um dodecágono regular de lado $\left[ DF\right] $. Sendo assim, podemos construir um dodecágono regular que passa pelos pontos $D$, $F$ e $G$, cujas medidas do lado e da segunda diagonal mais curta são dadas por:

MATH

MATH

Como $d=mx$ e $l=nx$, temos:

MATH

MATH

onde $n_{1}=m-2n$ e $m_{1}=2n$ são dois números inteiros positivos, com $m_{1}<m$. De facto, MATH, o que é absurdo uma vez que MATH. Procedendo da mesma forma, vamos obter um novo dodecágono regular cuja segunda diagonal mais curta é $d_{2}=m_{2}x$ e cujo lado é $l_{2}=n_{2}x$, sendo que $n_{2}=m_{1}-2n_{1}$ e $m_{2}=2n_{1}$ são dois números inteiros positivos, com $m_{2}<m_{1}<m $.

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos dodecágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos:

MATH

tal que MATH o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que $m$ (de facto, existem exactamente $m-1$ elementos: $1$,$2$,$3$,...,$m-2$, e $m-1$). Logo, a segunda diagonal mais curta e o lado do dodecágono regular são grandezas incomensuráveis.