Decágono regular

Seja MATH um decágono regular de centro em $O$ cujas medidas do lado e da diagonal mais longa são $l$ e $d$, respectivamente. Sejam $\left[ AF\right] $, $\left[ CH\right] $ e $\left[ EJ\right] $ três diagonais que passam pelo centro do decágono e $\left[ AH\right] $ e $\left[ BE\right] $ duas das segundas diagonais mais curtas. Consideremos os pontos $K$ e $L$, resultantes da intersecção entre as diagonais $\left[ AH\right] $ e $\left[ BE\right] $ com as diagonais $\left[ EJ\right] $ e $\left[ CH\right] $, respectivamente. Temos que MATH, MATH e MATH, logo $\left[ AJL\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Analogamente, $\left[ BCK\right] $ também é isósceles, com MATH. Além disso, como estes triângulos são congruentes, temos MATH. O triângulo $\left[ LAO\right] $ também é isósceles, uma vez que MATH e MATH, logo MATH e MATH. Portanto, MATH. Por outro lado, temos que MATH, MATH, MATH, MATH e MATH. Então, o polígono MATH tem os lados todos iguais e os ângulos internos todos iguais, pelo que é um pentágono regular de lado $\overline{AB}=l$ e cuja diagonal é MATH. Se a diagonal mais longa de MATH e o seu lado fossem comensuráveis, ou seja, se a razão $\frac{d}{l}$ fosse um número racional, então a razão MATH também seria racional e a diagonal de MATH seria comensurável com o seu lado, o que já vimos que não acontece. Portanto, a diagonal mais longa e o lado do decágono MATH são grandezas incomensuráveis.

 

Nota: de facto, demonstra-se que a razão entre a diagonal mais longa e o lado de um polígono regular de $2n$ lados, com $n$ um número ímpar maior do que $3$, é sempre o dobro da razão entre a diagonal mais longa e o lado de um polígono regular de $n$ lados. O caso analisado acima corresponde a tomar $n=5$. Para visualizar o caso seguinte, consulte este applet.