Decágono regular
Seja 
um decágono regular de centro em 
cujas medidas do lado, da diagonal mais longa e da segunda diagonal mais curta
são 
,
e 
,
respectivamente. Sejam ![$\left[ AF\right] $](graphics/decagono3__6.gif)
e ![$\left[ CH\right] $](graphics/decagono3__7.gif)
duas diagonais que passam pelo centro do decágono, ![$\left[ AD\right] $](graphics/decagono3__8.gif)
a segunda diagonal mais curta que une os vértices 
e 
,
e 
o ponto de intersecção da diagonal ![$\left[ AD\right] $](graphics/decagono3__12.gif)
com a diagonal ![$\left[ CH\right] $](graphics/decagono3__13.gif)
.
Então, 
e 
,
pelo que 
e ![$\left[ KCD\right] $](graphics/decagono3__17.gif)
é um triângulo isósceles, com 
.
Além disso, 
,
e 
,
pelo que ![$\left[ AOK\right] $](graphics/decagono3__22.gif)
é um triângulo isósceles, com 
.
Portanto, a medida da diagonal mais longa é dada por:
Logo, vem:
Equivalentemente, temos:
Assim,
será um número racional se e só se 
também o fôr, o que já vimos que não acontece. Portanto,
a diagonal mais longa e o lado do decágono 
são grandezas incomensuráveis.