Decágono regular

Consideremos um decágono regular para o qual os pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$ são vértices consecutivos, $d$ a medida da sua diagonal mais longa e $l$ a medida do seu lado. Supondo que $d$ e $l$ são comensuráveis, temos $d=mx$ e $l=nx$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos e $x$ é uma medida comum à segunda diagonal mais curta e ao lado do decágono. Note-se que cada lado é uma corda da circunferência que circunscreve o polígono à qual corresponde um arco de amplitude MATH. Marcamos os pontos $G$ e $H$ na diagonal $\left[ CF\right] $ tal que MATH. Então, como $\left[ CDG\right] $ é isósceles e MATH, vem MATH. Além disso, MATH, logo a diagonal $\left[ CF\right] $ é paralela ao lado $\left[ DE\right] $. Então, como $\left[ GH\right] $ é paralelo a $\left[ DE\right] $ e MATH, temos que MATH é um paralelogramo, sendo MATH e MATH. Como MATH, $\left[ OCF\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Temos então que MATH, pelo que $\left[ OCG\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Logo, MATH.

Seja $I$ o ponto de intersecção da recta $EH$ com a diagonal $\left[ AF\right] $. Como MATH, $\left[ ODE\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Logo, MATH, MATH, MATH e MATH pelo que $\left[ IEF\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Então, vem MATH. Temos também que MATH, logo $\left[ OEF\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH, pelo que MATH e $\left[ IOE\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH.

Seja $J$ o ponto do segmento $\left[ IF\right] $ tal que MATH (note-se que MATH, dado que MATH, e isto é absurdo uma vez que MATH). Então, $\left[ IHJ\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Mas então MATH e MATH, pelo que $\left[ JFH\right] $ é semelhante ao triângulo $\left[ DCF\right] $, uma vez que MATH e MATH.

Assim, podemos construir um decágono regular que passa pelos pontos $F$, $J$ e $H$, sendo $\left[ FJ\right] $ um dos seus lados e $\left[ JH\right] $ uma das suas segundas diagonais mais curtas. Note-se que um dos vértices deste novo decágono encontra-se na diagonal $\left[ DF\right] $ (mais propriamente, é o ponto de intersecção de $\left[ DF\right] $ com $\left[ IE\right] $, uma vez que MATH e MATH) e outro vértice encontra-se no lado $\left[ EF\right] $ (uma vez que MATH). Sejam $K$ e $L$ estes dois pontos, respectivamente. Temos que MATH e MATH, logo MATH e $\left[ KEL\right] $ é um triângulo isósceles, com MATH. Logo, as medidas do lado e da diagonal mais longa são dadas por:

MATH

MATH

Como $d=mx$ e $l=nx$, temos:

MATH

MATH

onde $n_{1}=m-3n$ e $m_{1}=4n-m$ são dois números inteiros positivos, com $m_{1}<m$. De facto, MATH, o que é absurdo uma vez que MATH.

Procedendo da mesma forma, vamos obter um novo decágono regular cuja segunda diagonal mais curta é $d_{2}=m_{2}x$ e cujo lado é $l_{2}=n_{2}x$, sendo que $n_{2}=m_{1}-2n_{1}$ e $m_{2}=m_{1}-n_{1}$ são dois números inteiros positivos, com $m_{2}<m_{1}<m$.

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos decágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos:

MATH

tal que MATH o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que $m$ (de facto, existem exactamente $m-1$ elementos: $1$,$2$,$3$,...,$m-2$, e $m-1$). Logo, a diagonal mais longa e o lado do decágono regular são grandezas incomensuráveis.