TORO
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conhecer a superfície |
Podemos pensar um toro (leia-se, superfície do toro) como sendo a superfície que se obtém colando (sem torcer) os pares de lados paralelos de um rectângulo. Colando apenas um par obtemos um cilindro (uma secção de um cilindro generalizado), e colando os "topos" desse cilindro obtemos um toro.
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Há, então, uma identificação dos pontos do rectângulo com os pontos do toro. (u,v) Os pares de lados paralelos do rectângulo correspondem à mesma linha no toro. Há, portanto, uma identificação dos pontos dos lados paralelos, ilustrada pela sua coloração. |
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Desenhar uma curva no toro que atravesse uma das linhas de colagem, corresponde, no rectângulo, a "sair" por um lado e "entrar" pelo outro lado a partir do ponto correspondente. |
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A longitude
e a latitude dos pontos dão-nos coordenadas da sua localização
sobre a superfície. Ambas são medidas de ângulos (em radianos)
em redor da superfície. A latitude é medida sobre um meridiano
e diz-nos em que paralelo está o ponto, dando-nos como que a altura
do ponto (dá-nos um pouco mais que isso...). A longitude é medida
sobre um paralelo e diz-nos em que meridiano está o ponto. Para
a identificação da localização de um ponto sobre
o cilindro precisamos apenas que a longittude e a latitude variem em intervalos
de [0,2[, pois cobrem
toda a superfície.
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No entanto, para que possamos também identificar o ponto na curva de forma contínua, podemos estender esses intervalos a intervalos múltiplos I e J sob a seguinte identificação:
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Esta extensão materializa-se nos applets com uma mudança de escala, permitindo, assim, de forma mais cómoda analisar curvas que dão várias voltas.
E este levantamento dos caminhos no toro pode ainda ser alargado a todo
o plano, permitindo, ao mesmo tempo, o estudo de todas as curvas sobre
o toro, sem restrição do número de voltas. Consideraríamos,
de forma análoga, uma infinidade de "cópias"
do rectângulo inicial, devidamente alinhadas (nas duas direcções),
podendo então dizer-se que cada ponto do plano se projecta
num ponto do toro e que cada ponto do toro admite uma infinidade de
levantamentos no plano, um em cada um dos rectângulos. |
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