O CASO EM QUE A CURVATURA SE ANULA

Vejamos agora que pressupostos adicionais são necessários para garantir a unicidade da curva, no caso em que a curvatura se pode anular.

Seja  f: I³ . Designemos por Z_f  o conjunto de zeros da função f.

Z_f = {s I,  f ( s ) = 0}

 

Teorema 1: Sejam P₀ um ponto de ³ e TF₀ um triedro ortonormado definido positivamente. Seja k: I³ uma função contínua, não negativa, que tenha um número finito de zeros, ou seja, uma função que verifique

Z_k = {s₁, s₂, s₃, s₄, ... , s_n }.

Seja : I \ Z_k³ uma função contínua.

Seja TF_s = (T_s, N_s, B_s ) o Triedro de Frenet associado ao instante s I \ Z_k.

Seja TF_si = (T_si, N_si, B_si ) um triedro ortonormado com orientação positiva, associado ao instante s_i Z_k, que verifica

lim Ts ssi-

= Tsi

Então, existe uma e uma só curva C², c: I³, parametrizada pelo comprimento de arco, cuja função curvatura é k, cuja função torção é , cujo ponto inicial é P₀, cujo Triedro de Frenet inicial é TF₀ e cujos Triedros de Frenet nos instantes s_i são os triedros TF_si.

 

Dem. Uma vez que a função f tem um número finito de zeros, os zeros de f são todos pontos isolados e portanto basta fazer a demonstração para o caso em que a função tem um único zero.

Seja s₁ I = [I₀, I₁] o zero da função.

A curva em [I₀, s₁[ é única e C² (T. F. Curvas).

A curva em ]s₁, I₁] é única e C² (T. F. Curvas) - note-se que agora TF₀ = TF_s1 e

lim c(s) ss1-

= P0

Falta agora estudar o que acontece no ponto s₁.

A curva definida em I é C¹ pela restrição imposta à escolha do triedro associado ao instante s₁ (e que obriga a que a tangente varie "suavemente" em s₁).

Como a função curvatura é contínua e tende para zero em s₁, tem-se

lim f '' ss1-

= (0 , 0, 0)

e

lim f '' ss1+

= (0 , 0, 0)

Tem-se ainda k ( s₁ ) = 0, ou seja, f '' ( s₁ ) = (0 , 0, 0) e portanto a curva é C².      QED

 

applet 3D (k0, nº finito zeros)

 

Teorema 2: Sejam P₀ um ponto de ³ e TF₀ um triedro ortonormado definido positivamente. Seja k: I³ uma função contínua, não negativa, cujo conjunto de zeros é da forma

Z_k = { s_i }_i=1,...,N  U { [ a_j , b_j ] }_j=1,...,M ,

onde b_j-1 < a_j < b_j < a_j+1 e s_i não pertence a nenhum dos intervalos [ a_j , b_j ] (para todo i e j).

Seja : I \ Z_k³ uma função contínua.

Seja TF_s = (T_s, N_s, B_s ) o Triedro de Frenet associado ao instante s I \ Z_k.

Seja TF_si = (T_si, N_si, B_si ) um triedro ortonormado com orientação positiva, associado ao instante s_i Z_k, que verifica

lim Ts ssi-

= Tsi

Seja TF_bi = (T_bi, N_bi, B_bi ) um triedro ortonormado com orientação positiva, associado ao instante b_i, que verifica

lim Ts sai-

= Tbi

Então, existe uma e uma só curva C², c: I³, parametrizada pelo comprimento de arco, cuja função curvatura é k, cuja função torção é , cujo ponto inicial é P₀, cujo Triedro de Frenet inicial é TF₀, cujos Triedros de Frenet nos instantes s_i são os triedros TF_si e cujos Triedros de Frenet nos instantes b_i são os triedros TF_bi.

 

Dem. Uma vez que a situação dos pontos isolados já foi estudada no teorema anterior e o número de intervalos que compõem Z_f é finito, basta fazer a demonstração para o caso em que Z_f =[ a₁ , b₁ ].

Seja I = [I₀, I₁].

A curva em [I₀, a₁[ é única e C² (T. F. Curvas).

A curva em ]a₁, b₁[ é um segmento de recta (curvatura nula) e portanto C (T. F. Curvas). Para que a curva seja C¹, este terá que ter o seu ínicio em

lim c(s) sa1-

e que ter a direcção de

lim Ts sa1-

Logo, o segmento de recta considerado é único.

A curva em ]b₁, I₁] é única e C² (T. F. Curvas) - note-se que agora TF₀ = TF_b1

P0 =

lim c(s) sb1-

= extremo "final" do segmento de recta

A curva definida em I é C¹ pela escolha do segmento de recta e pela restrição imposta à escolha do triedro associado ao instante b₁.

Como a função curvatura é contínua e tende para zero em a₁ e b₁, tem-se

lim f '' sa1-

= (0 , 0, 0)

e

lim f '' sb1+

= (0 , 0, 0)

Tem-se ainda que k ( [a₁ , b₁] ) = 0, ou seja, f '' ( [a₁ , b₁] ) = (0 , 0, 0) e portanto a curva é C².      QED

 

applet 3D (k0)

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