AINDA A CURVATURA E A TORÇÃO (III)

Para se ter as mesmas curvas planares, quer no caso bidimensional, quer no caso tridimensional, temos de "autorizar" que, no Teorema Fundamental das Curvas, a curvature se anule, o que obriga a que tenha de se impor mais algumas escolhas (para além da escolha da função curvatura, da função torção, do ponto inicial e do Triedro de Frenet inicial) para garantir a unicidade da curva. A escolha que agora vai ter de ser feita, é a escolha do Triedro de Frenet da curva em certos instantes. Estes instantes correspondem a alguns dos pontos da curva (eventualmente, todos) que verificam k=0.

Para simplificar, estudemos, por agora, apenas o caso em que a função curvatura tem apenas zeros isolados.

Tente descobrir, experimentalmente, a partir do applet 3D (k0, nº finito zeros), em que instantes é necessário escolher o Triedro de Frenet e observe as alterações que ocorrem na curva quando se alteram estes mesmos Triedros.

resposta

Como deve ter reparado, dependendo da escolha dos Triedros de Frenet que aparecem no lado esquerdo do applet, existem curvas diferentes (C²) com a mesma função curvatura e com a mesma função torção (note-se mais uma vez que a torção apenas está definida nos pontos onde a curvatura não é nula).

exemplo

Portanto, para garantirmos a unicidade da curva, é mesmo necessário fixarmos o Triedro de Frenet em certos instantes.

Nesta situação surge um novo problema: nem sempre as curvas com torção nula (nos pontos onde esta está definida) são planares. Procure no applet 3D (k0, nº finito zeros) exemplos deste tipo de curvas.

exemplo

De qualquer modo, repare que para que uma curva seja plana é na mesma necessário que a sua torção seja nula nos pontos onde está definida (o problema está apenas no facto de esta condição não ser suficiente para garantir que a curva seja, efectivamente, planar).

Mas afinal, quando é necessário escolher um Triedro de Frenet para se obter a unicidade de uma curva tridimensional que tem a torção nula (nos pontos onde esta está definida), quantas escolhas podemos fazer para que a curva seja, de facto, uma curva planar? Tente encontrar, experimentalmente, a resposta a esta última questão no applet 3D (k0, nº finito zeros).

resposta

E se os zeros da função curvatura não fossem todos isolados?