Adição Modular

A SOMA MODULAR COMO A SOMA DE DOIS ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

(Aritmética Modular)

A Aritmética Modular é também conhecida por Aritmética Circular. E porquê?

Suponhamos que temos o número 0. Se lhe somarmos 1 dá 1. Se ao anterior somarmos outra vez 1 dá 2. Se ao anterior somarmos outra vez 1 dá 3. E se continuarmos este processo (somar sempre mais uma unidade) indefinidamente? No caso dos números naturais é óbvio que este número que está a ser sucessivamente construído vai ser cada vez maior. E na Aritmética Modular? Será que acontece o mesmo? A resposta é não. Vejamos o exemplo da Aritmética Módulo 12. Esta construção é igual à dos números naturais até chegarmos ao número 11. O que acontece a seguir? Quando somamos 1 ao 11, módulo 12, o resultado que nos dá é zero e portanto voltamos ao início do processo. Quando chegarmos novamente ao 11 voltamos a ir para zero e assim sucessivamente, entrando este processo em ciclo. Note que esta não é uma propriedade exclusiva do módulo 12. Esta é uma das razões pela qual podemos afirmar que esta aritmética é circular.

Como é que podemos aproveitar esta propriedade para determinar a soma modular de dois números (a e b)? Vejamos, por exemplo, o caso da Aritmética Módulo 12:

Constrói-se um arco de circunferência correspondente a a/12 da circunferência.
Constrói-se um outro arco de circunferência correspondente a b/12 da circunferência.
Justapôem-se os dois arcos de modo a formar um único arco (possivelmente, este novo arco poderá dar mais que uma "volta").

Então, o valor da soma modular dos números a e b corresponde ao último arco construído (ao qual é retirado o valor de uma circunferência, caso este novo arco tenha "dado mais de uma volta").

Para se perceber melhor o que se está fazer, veja o seguinte applet.