Demonstração construtiva
Author: Atractor
Date: 25 novembro 2014

$\small\mbox{Mover o ponto ou clicar no botão para seguir os sucessivos passos.}$

$\small\mbox{Consideremos duas }  \textcolor{Blue}{circunferências} \mbox{ disjuntas, de centros A e B e raios }$
$\small r_{1} \small\mbox{ e } r_{2} \mbox{ (todos quatro manipuláveis)} $

$\small\mbox{Seja r a recta que une os centros das duas circunferências.}$

$\small\mbox{Sejam E e F pontos de intersecção da recta r com as duas } \textcolor{blue}{circunferências},$
$\small\mbox{escolhidos do mesmo lado (relativamente ao centro respectivo).}$

$\small\mbox{Vamos utilizar a inversão na }  \definecolor{rosa}{rgb}{1,0.6,0.8} \textcolor{rosa}{circunferência\;C_{1}} \mbox{ de centro em E que 
passa}$
$\small\mbox{por F.}$

$\small\mbox{Quais as } \definecolor{ciano}{rgb}{0.2,1,0.8} \textcolor{ciano}{inversas} \mbox{ das } \textcolor{Blue}{\mbox{circunferências originais}}, \mbox{ em relação a } \textcolor{rosa}{C_{1}}?$ 
$\small\mbox{Uma passa pelo centro de inversão E, logo a sua inversa é uma } \textcolor{ciano}{\mbox{recta (t)}}$ 
$\small\mbox{perpendicular a EF. A inversa da outra é uma } \textcolor{ciano}{circunferência} \mbox{ tangente a}$
$\small\mbox{ela em F. }$

$\small\mbox{Designamos por G o centro da } \textcolor{ciano}{\mbox{circunferência azul claro}} \mbox{ e por L um ponto}$
$\small\mbox{de intersecção da paralela por G a } \textcolor{ciano}{t} \mbox{ com a }\textcolor{ciano}{circunferência}.$
 

$\small\mbox{Seja M o ponto de intersecção com a } \textcolor{ciano}{recta\;t} \mbox{ da paralela a AB por L.}$

$\small\mbox{Das propriedades destacadas no passo anterior para a } \textcolor{castclaro}{circunferência}$ 
$\small\textcolor{castclaro}{castanha} \mbox{, decorrem propriedades análogas para a sua } \definecolor{castescuro}{rgb}
{0.8,0.4,0} \textcolor{castescuro}{\mbox{inversa: a nova}} $
$\small\textcolor{castescuro}{\mbox{circunferência (mais escura)}} \mbox{ é ortogonal às inversas dos } \textcolor{ciano}{\mbox{objectos azul}}$
$\small\textcolor{ciano}{\mbox{claro}} \mbox{, isto é, às duas } \textcolor{Blue}{\mbox{circunferências iniciais}} \mbox{; e também intersecta a}$
$\small\mbox{recta r (em dois pontos).}$

$\small \mbox{Como a } \textcolor{castescuro}{\mbox{circunferência castanha}} \mbox{ passa pelo centro de inversão O, a sua}$
$\small \mbox{inversa é uma } \textcolor{castclaro}{recta} \mbox{. E decorre da ortogonalidade da } \textcolor{castescuro}{\mbox{circunferência cas-}}$
$\small  \textcolor{castescuro}{nha} \mbox{ às duas } \textcolor{Blue}{\mbox{circunferências iniciais}} \mbox{ que } \textbf\mbox{a } \textbf\textcolor{castclaro}{\mbox{recta castanha}} \textbf\mbox{ é ortogonal}$
$\small \textbf\mbox{às } \textbf\textcolor{verde}{\mbox{inversas (verdes)}}.$
$\small \mbox{Mas a recta } \textbf\mbox{AB também é ortogonal às } \textbf\textcolor{verde}{\mbox{circunferências verdes}} \mbox{ por ser}$
$\small \mbox{ortogonal às } \textcolor{Blue}{\mbox{circunferências iniciais }} \mbox{e a inversa da recta AB ser a própria}$ 
$\small \mbox{recta.}$

$\small \mbox{Se O é um dos  pontos de intersecção da } \textcolor{castescuro}{\mbox{nova circunferência}} \mbox{ com a recta}$
$\small \mbox{AB, vamos usar uma segunda inversão no plano, definida por uma } \textcolor{rosa}{circun-}$
$\small \textcolor{rosa}{ferência\;C_{2} } \mbox{ com centro em O (cujo raio pode manipular com o novo cursor).}$

$\small\mbox{Estão desenhadas a } \definecolor{verde}{rgb}{0,0.8,0} \textcolor{verde}{\mbox{verde as inversas}} \mbox{ das } \textcolor{blue}{\mbox{circunferências iniciais}} \mbox{ relativa-}$
$\small\mbox{mente à } \textcolor{rosa}{circunferência\;C_{2}}. $

As circunferências não são disjuntas!

Esconder texto

Esconder construções

$\small\mbox{A } \definecolor{castclaro}{rgb}{0.8,0.6,0} \textbf\textcolor{castclaro}{circunferência} \mbox{ de centro em M passando por L }\mbox{\textbf{é ortogonal aos dois}}$ 
$\small\textbf\textcolor{ciano}{\mbox{objectos azul claro}} \mbox{: à } \textcolor{ciano}{recta} \mbox{ porque ela passa no centro da } \textcolor{castclaro}{circunferência}$
$\small\mbox{e à } \textcolor{ciano}{circunferência} \mbox{ por LG ser perpendicular a LM. Além disso, a } \textbf\textcolor{castclaro}{circun-}$
$\small\textbf\textcolor{castclaro}{\mbox{ferência castanha }}  \textbf\mbox{intersecta a recta r em dois pontos} \mbox{. Isso resulta de}$
$\small\mbox{o seu raio (}\overline{LM}) \mbox{ ser maior do que a distância de M à recta r, uma vez que } $ 
$\small\mbox{a } \textcolor{ciano}{\mbox{circunferência azul claro}} \mbox{ é disjunta da } \textcolor{ciano}{\mbox{recta azul claro}}.$

Avançar

$\small \mbox{Vimos no ponto anterior que há duas rectas ortogonais a ambas as}$ 
$\small \textcolor{verde}{\mbox{circunferências verdes}} \mbox{. Mas uma recta é ortogonal a uma circunferência}$
$\small \mbox{se e só se passar pelo centro. Portanto, ambas as rectas passam pelos}$
$\small \mbox{centros das duas } \textcolor{verde}{\mbox{circunferências verdes}} \mbox{, o que só é possível se esses}$
$\small \mbox{centros coincidirem. Conclusão}\mbox{:as}\textcolor{verde}{\mbox{ circunferências verdes}} \mbox{ são
 concêntricas.}$

Recuar

A = (4.378753283800812, -14.10690382518224)
B = (8.944055971773547, -15.593333455710665)
r_{1} = 8.8 (slider from 0 to 10, step 0.1)
r_{2} = 2.6 (slider from 0 to 10, step 0.1)
c = Circle(A, r_{1})
d = Circle(B, r_{2})
r = Line(A, B)
E = Intersect(c, r, 1)
F = Intersect(d, r, 1)
C_{1} = Circle(E, F)
d' = Mirror(d, C_{1})
t = Mirror(c, C_{1})
C = Point(d')
D = Point(d')
b = Segment(C, D)
f = LineBisector(C, D)
G = Intersect(r, f)
H = Point(t)
I = Point(t)
h = Line(H, I)
i_1 = Line(G, h)
L = Intersect(d', i_1, 1)
j = Line(L, r)
M = Intersect(t, j, 1)
k = Circle(M, L)
k' = Mirror(k, C_{1})
r_{3} = 4.9 (slider from 0 to 10, step 0.1)
O = Intersect(k', r, 1)
C_{2} = Circle(O, r_{3})
c'_1 = Mirror(c, C_{2})
d'_1 = Mirror(d, C_{2})
i = 0 (slider from 0 to 13, step 1)
distânciaAB = Distance(A, B)
TextoAB: Name[A] + (Name[B]) + " = " + distânciaAB
distânciaAE = Distance(A, E)
a = false
e = false
k'' = Mirror(k', C_{2})
J, K = Intersect(k'', r)