ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Usando a seguinte aplicação interactiva, investigue uma forma de determinar a área de um triângulo conhecendo a área dos biângulos que lhe estão associados.

A área de um triângulo esférico pode ser obtida através da área dos seus biângulos. Temos que distinguir dois casos: o caso em que o triângulo é pequeno (o seu interior está contido numa semi-esfera) e o caso contrário.

1. Tomemos um triângulo esférico pequeno T. Em cada vértice do triângulo esférico, os círculos máximos que contêm os respectivos lados do triângulo formam dois biângulos congruentes com ângulos geometricamente iguais ao ângulo interno desse vértice. Note-se que um desses biângulos contém o interior do triângulo e o outro contém o interior do triângulo antípoda (triângulo formado pelos antípodas dos pontos do triângulo). Considerando os três vértices do triângulo, temos seis biângulos dos quais três intersectam-se no interior do triângulo e os outros três biângulos intersectam-se no interior do triângulo antípoda. Na região esférica restante, os seis biângulos são disjuntos dois a dois. Assim, estes biângulos “cobrem” o triângulo e o seu antípoda três vezes e a restante região esférica uma vez. Portanto, a soma da área dos seis biângulos é igual à área da esfera acrescida do dobro da área do triângulo esférico, A_T , e do dobro da área do seu antípoda. Notando que T e o seu antípoda têm a mesma área e fazendo alguns cálculos simples, obtém-se a fórmula da área do triângulo esférico T: $$A_{T}=\left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2}$$ onde α, β e γ são as amplitudes dos ângulos internos do triângulo em radianos. Esta fórmula é conhecida por Teorema de Girard.

2. Se o triângulo esférico for grande, ou seja, que contém uma semi-esfera, podemos calcular a sua área fazendo a diferença entre a área da esfera e a área do triângulo pequeno que os seus lados e vértices também determinam. Usando o resultado anterior obtemos a mesma fórmula para a área do triângulo.