Nota:
se clicar na figuras do quadro acima, obterá estas figuras
em tamanho maior e tem, por exemplo, a possibilidade de as pôr
a "rodar" no espaço (arrastando-as com o rato)..
Uma
diferença é aquela que já vimos: a soma dos ângulos de um triângulo
deixa de ser 180 graus. E também não é sempre a mesma para cada
triângulo: examinando as esferas correspondentes aos outros dois
caleidoscópios - respectivamente do tetraedro e do dodecaedro
(ver fig. 1 e fig. 2) - reparamos que uma está dividida em 24
triângulos, todos iguais entre si, cada qual com um ângulo de
90 graus e dois de 60 graus, enquanto outra está dividida em 120
triângulos, todos iguais entre si, cada qual com um ângulo de
90 graus, um de 60 e outro de 36. No primeiro caso, a soma dos
ângulos é de 210 graus, e no segundo caso é de 186.
| soma
dos ângulos do triângulo |
excesso
angular |
área
do triângulo em relação à área
da esfera |
| 186 |
6 |
1/120 |
| 195 |
15 |
1/48 |
| 210 |
30 |
1/24 |
A
situação encontra-se resumida na tabela acima, onde a primeira
coluna representa a soma dos ângulos do triângulo, a segunda o
excesso angular (ou seja, em quanto é que a soma ultrapassa o
ângulo raso) e a terceira, a área do triângulo em relação à área
da esfera. Podemos observar que quanto maior é o triângulo, maior
é a soma dos ângulos. Para os triângulos da esfera correspondente
ao caleidoscópio do dodecaedro, que são os mais pequenos (a sua
área é de 1/120 da área da esfera), o excesso angular é de apenas
seis graus. Para os triângulos da esfera correspondente ao caleidoscópio
do cubo, que são maiores (a sua área é 1/48 da área da esfera),
o excesso angular é de quinze graus. Por fim, para os triângulos
da esfera correspondente ao caleidoscópio do tetraedro, que são
exactamente o dobro dos anteriores (se juntarmos dois triângulos
da esfera correspondente ao caleidoscópio do cubo, ao longo do
cateto maior, obteremos um dos triângulos da esfera correspondente
ao caleidoscópio do tetraedro), o excesso angular é de trinta
graus. Encontramos, assim, para um triângulo com área dupla, um
excesso angular duplo.
