Como já foi referido anteriormente, se colocarmos uma peça dentro de um caleidoscópio, essa peça origina à volta de cada vértice uma "coroa circular" de peças iguais à original.

Para que o número de imagens dessa coroa seja finito, os ângulos em cada vértice têm que ser do tipo: /m, /n e /p com n, m e p números naturais maiores que 1.

O facto dos ângulos serem desta forma garante-nos desde já que estes caleidoscópios não podem ter ângulos obtusos. Por outro lado, sabe-se que:

/n + /m + /p = ,

pois a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é radianos.

Consequentemente podemos dizer que:

1/n + 1/m + 1/p = 1

Encontrando as soluções desta equação, ficaremos a conhecer as amplitudes dos ângulos que pretendemos.

Para tal e para simplificar a resolução da mesma, podemos assumir que n, m e p são tais que

.

Comecemos então com n=2. Neste caso, 1/m + 1/p =1/2. Como , a primeira possibilidade para m seria 2, o que não pode ser, pois assim teríamos um triângulo com dois ângulos rectos). Tentemos então m=3. Isto obriga a que p seja 6 e assim já temos uma solução:

n=2 , m=3 e p=6

Continuando com n = 2, a próxima escolha para m será 4, o que obriga a que p seja 4 e surge outra solução:

n=2 , m=4 e p=4

Se continuássemos com n=2, a próxima escolha de m seria 5 e portanto p teria de ser menor que 5, o que não pode acontecer. O mesmo argumento funciona se . Assim sendo, não há mais possibilidades com n=2.

Consideremos então n=3. A primeira hipótese para m é também 3 e portanto p=3. Encontamos outra solução:

n=3 , m=3 e p=3

Se n=3 e m > 3, então

e portanto 1/n + 1/m + 1/p =1/3 + 1/m + 1/p < 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1, o que não pode acontecer.

Da mesma forma, se , então

e

,

o qie também não pode acontecer.

Portanto a equação não tem mais soluções. Existem apenas três possibilidades:

Podemos então concluir que só existem três caleidoscópios (triangulares) interessantes: