Na figura em baixo, a recta a verde passa pelo ponto médio do
segmento que une o ponto P* ao ponto P', e é
perpendicular a este segmento. Chama-se-lhe a mediatriz do segmento
de extremidades P* e P'.
Um ponto que se mova nesta recta, como o ponto
I, está sempre à mesma distância de
P* e P',
uma vez que os triângulos que estes pontos
definem com I e com o ponto
médio (sombreados na figura) são uma
cópia um do outro.
[Mova o ponto A na figura]
Dos dois pontos P* e P', A
está mais próximo do ponto que está do mesmo lado da recta
a verde que A. De facto, a distância de A a esse ponto
é o comprimento de um lado do triângulo esbranquiçado da
figura e a sua distância ao outro ponto equivale à
soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Pode-se agora compreender o que define a zona alaranjada da figura da
esquerda: por construção --- veja-se como abrimos o
prisma ---,
P* e P' formam um ângulo recto de vértice E
(a verde, na figura).
Quando a mediatriz (também a verde) do segmento de extremidades
P* e P' passa por A, quer P* quer
P' estão em lados dos triângulos a laranja. Estes
lados foram construídos fazendo ângulos de 45º com
a recta que passa pelos pontos
A e E.
Movendo P, a mediatriz roda em torno de E: rodando num sentido,
P*, que está à esquerda da recta,
fica colocado na zona alaranjada, P' fora dela e
A fica também colocado à esquerda da recta;
rodando no outro sentido, trocam-se os papéis de P* e P',
e é P' que é colocado
do mesmo lado da mediatriz que A.
Com a figura da esquerda e uma sua cópia
forma-se uma nova figura plana que permite reconstituir o prisma.
Pode-se ver simulada essa
reconstituição movendo o botâo em baixo.
Esta nova figura tem a seguinte propriedade:
a distância que se mede nela entre
o ponto A e outro ponto do prisma
é a distância que a formiga percorre
para ir de um ponto a outro. Em particular, o ponto mais afastado de
A para a formiga é agora fácil de encontrar:
basta encontrá-lo na nova figura plana.
Esse ponto está assinalado em baixo. Pode-se constatar
que ele é o mais afastado de A
pressionando o botão "Mostrar" na figura do lado.