PARA SABER MAIS...

N-CUBO

Também podemos estudar os cubos usando coordenadas:

- um quadrado (2-cubo) de lado unitário pode ser identificado com os vértices de coordenadas (0,0), (0,1), (1,0) e (1,1), ou seja, os 4 pontos do plano de coordenadas \((x_{1},x_{2})\) com \(x_{1},\, x_{2}\,\in\{0,1\}\) ;

- um cubo (3-cubo) de aresta 1 pode ser identificado com os 8 vértices de coordenadas \((x_{1},x_{2},x_{3})\) com \(x_{1},\, x_{2},\, x_{3}\,\in\{0,1\}\);

- um hipercubo (4-cubo) de aresta 1 pode ser identificado com os 16 vértices de coordenadas \((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) com \(x_{1},\, x_{2},\, x_{3},\, x_{4}\,\in\{0,1\}\).

Assim, um n-cubo de aresta 1 pode ser definido como a região do espaço de dimensão n cujos \(2^{n}\) vértices são os pontos de coordenadas \((x_{1},\,...\,,x_{n})\) com \(x_{1},\,...\,,\, x_{n}\,\in\{0,1\}\).

Também podemos definir arestas e faces em qualquer dimensão usando coordenadas:

- Uma aresta é definida por dois vértices cujas coordenadas diferem em apenas 1 delas. Por exemplo, no espaço de dimensão 4, umas das arestas do hipercubo une os vértices de coordenadas (0,0,0,0) e (0,0,0,1).

- Uma face de dimensão 2 é definida por duas arestas sem vértices em comum e cujos 4 vértices diferem, no máximo, em 2 das suas coordenadas. Por exemplo, em 3 dimensões os vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1) e (0,0,1) definem uma face de dimensão 2, mas os vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1) e (1,1,1) não definem uma face de dimensão 2.

- Uma face de dimensão 3 (num espaco de dimensão 4) é definida por duas faces de dimensão 2 que não têm vértices em comum e cujos 8 vértices diferem, no máximo, em 3 das suas coordenadas.

Portanto, uma face de dimensão n (num espaco de dimensão n+1) é definida por duas faces de dimensão n-1 que não têm vértices em comum e cujos \(2^{n}\) vértices diferem, no máximo, em n das suas coordenadas.