Repare que a regra em cada cruzamento pode ser formulada do seguinte modo:

(parte da esquerda)= (parte de cima) (parte da direita)(parte de cima) ^-1

Portanto, das relações em cada cruzamento temos as seguintes regras na primeira linha e depois algumas deduções:

u = x y x -1,

x = y w y -1,

y = w z w -1,

w = z u z -1,

z = u x u -1.

y = wzw -1

= zuz -1 z  zu -1z -1

= zuzu -1z -1

= uxu -1 u  uxu -1 u -1  u x -1u -1

= uxuxu -1x -1u -1

= xyx -1 x xyx -1 x xy -1x -1 x -1 x y -1x -1

= xyxyxy -1x -1y -1x -1.

Portanto        xyxyxy -1x -1y -1x -1y -1 = 1.

Repare que, ao deduzir esta regra, usamos quatro das relações (uma das relações pode ser deduzida das outras). Portanto, para retirar o lacete do nó temos de o passar através de pelo menos quatro cruzamentos.

Agora deve resolver um exercício semelhante, mais fácil, para o trifólio.

Há muito mais a dizer nesta área; para explicar tudo precisamos de desenvolver o assunto `teoria combinatória dos grupos'.

No que vem em cima, é interessante notar como utilizamos símbolos de maneiras diferentes. Assim, x representa num ponto uma porção do nó, depois um pedaço de fio curvando-se em torno daquela parte do nó, depois x é apenas um símbolo de acordo com regras que moldam a Geometria. Assim, os símbolos x, y, ... e a maneira como os combinamos também se prestam à analogia. É desta maneira que funciona a modelização da Geometria pela Álgebra. Claro que a parte difícil é encontrar estas regras, estas leis, estas maneiras de criar um modelo algébrico da Geometria, levando assim à computação.

Regresso aos invariantes.

Última actualização: 5 de Agosto de 1998.