Nota:
se clicar na figura 2, obterá esta figura representada
em tamanho maior e tem, por exemplo, a possibilidade de a pôr
a "rodar" no espaço (arrastando-a com o rato) ou de a abrir
(utilizando o botão direito do rato). Em caso de dúvida
consulte ajuda.
A
figura 1 representa uma (única!) bolinha amarela, uma (única!)
bolinha azul e uma (única!) bolinha vermelha num caleidoscópio
tridimensional, no qual se consegue ver um cubo. A disposição
das imagens reflectidas das bolinhas ajuda-nos a descobrir os
ângulos entre dois espelhos do caleidoscópio: temos anéis de quatro
bolinhas amarelas que se encontram em correspondência com dois
espelhos que formam entre si um ângulo de 90 graus; temos ainda
anéis de seis bolinhas azuis, em correspondência com dois espelhos
que formam entre si um ângulo de 60 graus; para terminar, temos
anéis de oito bolinhas vermelhas, em correspondência com dois
espelhos que formam entre si um ângulo de 45 graus.
É
possível observarmos os mesmos ângulos se considerarmos a esfera
correspondente ao caleidoscópio (ver fig.2); a superfície da esfera
é dividida em 48 “triângulos”, todos iguais entre si, e cujos
ângulos são de 90, 60 e 45 graus: de facto, existem vértices onde
se juntam quatro triângulos (portanto, cada um dos quatro ângulos
que aqui se encontram é de 90º=360º/4), vértices onde se juntam
seis e outros onde se juntam oito.
No
entanto: 90 + 60 + 45 dá 195, e não 180: temos, portanto, um triângulo
cuja soma dos ângulos não é 180 graus! Porém, tal não nos deve
surpreender muito, porque, na verdade, não se trata propriamente
de um triângulo: trata-se de um triângulo “gordo”, desenhado sobre
uma esfera, e cujos lados não são segmentos, mas sim o que de
mais parecido com segmentos pode ser desenhado numa esfera, ou
seja, arcos de círculo máximo.
Como
é a geometria dos triângulos na esfera? O que há de comum e de
diferente em relação à geometria plana normal que conhecemos?
