Atractor de Sierpinski
(Regras)

    Há três pontos não colineares, tendo um disco colorido (azul, verde, vermelho), respectivamente junto a cada ponto e há um dado de faces coloridas (azul, verde, vermelho), com faces opostas de igual cor.
    Constroi-se uma sucessão (aleatória) de pontos da maneira seguinte:

  1. o primeiro ponto é um dos três anteriores*, eventualmente tirado à sorte com o dado;
  2. obtido um ponto P, constroi-se o seguinte, lançando o dado, traçando o segmento que une P àquele dos três pontos iniciais, cujo disco associado tem a cor da face saída no dado, e escolhendo o ponto médio desse segmento.
    No applet seguinte, pode-se ver que ponto viria a seguir ao ponto P, conforme a cor saída no dado, carregando na cor correspondente (azul, verde, ou vermelho).
 

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Algumas observações:
  1. Se quiser saber em que região estará o novo ponto, se, ao lançar o dado, sair a cor azul, poderá carregar em Azul e em Mostrar triângulo azul e, depois, mover o ponto P dentro do triângulo maior. Verá que o novo ponto nunca sai da região a azul.
  2. Poderá também observar que, se P está no interior do triângulo grande, o seu seguinte (e, portanto, todos os seus seguintes) também estão no interior (e não em qualquer dos lados).
  3. Para o novo ponto estar num lado do triângulo grande, é necessário que, no lançamento do dado, tenha saído uma das cores dos seus extremos e que o ponto P também esteja nesse segmento.
  4. Portanto, a única forma de um ponto estar num dos lados do triângulo grande é que todos os que o antecedem tenham lá estado também, isto é, sempre tenham saído, nos lançamentos passados do dado, as cores dos extremos desse lado.


* Se a regra de o ponto inicial ser um dos três pontos dados fosse suprimida (permitindo-se partir de qualquer ponto do mesmo plano), tinha-se o resultado interessante de que a figura obtida seria ainda semelhante à anterior, desde que se tivesse o cuidado de suprimir a marcação dos primeiros pontos obtidos. É esta propriedade - de haver um conjunto que «atrai» todas as sucessões aleatórias obtidas pelo processo descrito - que está na base da designação de atractor de Sierpinski. Mais precisamente, o atractor de Sierpinski é o que os matemáticos chamam a aderência de qualquer das sucessões acima descritas e coincide (isto é um resultado!) com o chamado triângulo de Sierpinski, formado pelo grande triângulo inicial, ao qual se retira o interior do triângulo «médio», e todos os interiores de todos os triângulos mais pequenos que vão ficando...