Triângulos Belos Reformatar


Comparação entre P1 e P2

Comecemos por notar que a seguinte propriedade:

\(\mathcal{P'}_2:\) Se \(\theta \in\,\,[0,\pi]\) é um múltiplo racional de \(\pi\) e tem cosseno racional, então \(\theta\in \{0,\pi,\pi/2,\pi/3,2\pi/3\}\)

é equivalente à aduzida anteriormente (\(\mathcal{P}_2\)).

Com efeito, uma vez que \[\cos(\{0,\pi,\pi/2\})=\{1, -1, 0\}\] e que \[\forall \,\theta \in \mathbb{R},\quad \quad \cos(\theta) = -\cos(\pi-\theta)\] podemos restringir a análise a ângulos de \(]0,\pi/2[\).

Cada uma das propriedades

\(\mathcal{P}_1:\) Se num triângulo são racionais os quocientes entre os comprimentos dos três lados e entre as amplitudes dos três ângulos, então o triângulo é equilátero

e \(\mathcal{P'}_2\) (ou \(\mathcal{P}_2\)) pode ser provada directamente a partir da outra.

Vejamos por que assim é. Seja \(\theta\,\in \,\,]0,\pi/2[\) um ângulo cuja amplitude é um múltiplo racional de \(\pi\) e tem cosseno racional. Construa-se o triângulo da figura seguinte, de lados \(1,\,1,\,2\cos\,\theta\) e ângulos \(\theta, \,\theta\) e \(\pi-2\,\theta\), o que é possível pois \(0<\theta <\pi/2\).

Observe-se que, como \(\theta\) é um múltiplo racional de \(\pi\), estes três ângulos são múltiplos racionais de \(\pi\). Além disso, tendo em conta a hipótese de que \(\cos\,\theta\) é um número racional, os quocientes dos comprimentos dos lados deste triângulo são racionais. Logo, podemos aplicar \(\mathcal{P}_1\) e concluir que o triângulo é equilátero. E, portanto, \(\theta =\pi/3\).