ATRACTOR

Observe-se que os pontos críticos de \(\mathcal{A}\) não dependem do valor de \(\mathcal{P}\) e que o denominador de \(\mathcal{A}\) é positivo em \(\left]0,\frac{\pi}{n+1}\right[.\) Além disso, \(\sen((n+1)\frac{\pi}{n+1})=0\) e \[\begin{array}{ccl} lim_{\alpha\mapsto0} & & \sen(\alpha)=0\\ lim_{\alpha\mapsto0} & & \frac{\sen(n\alpha)}{\sen(\alpha)+\sen(n\alpha)+\sen((n+1)\alpha)}\\ & = & lim_{\alpha\mapsto0}\frac{n\cos(n\alpha)}{\cos(\alpha)+n\cos(n\alpha)+(n+1)\cos((n+1)\alpha)}\\ & = & \frac{n}{2n+2}\\ \\ lim_{\alpha\mapsto0} & & \frac{\sen((n+1)\alpha)}{\sen(\alpha)+\sen(n\alpha)+\sen((n+1)\alpha)}\\ & = & lim_{\alpha\mapsto0}\frac{(n+1)\cos((n+1)\alpha)}{\cos(\alpha)+n\cos(n\alpha)+(n+1)\cos((n+1)\alpha)}\\ & = & \frac{n+1}{2n+2}\\ & = & \frac{1}{2}. \end{array}\] Logo \(lim_{\alpha\mapsto0^{+}}\mathcal{A}\left(\alpha\right)=0\) e, portanto, a função \(\mathcal{A}\) estende-se continuamente a \(\left[0,\frac{\pi}{n+1}\right]\) se definirmos \(\mathcal{A}\left(\frac{\pi}{n+1}\right)=\mathcal{A}\left(0\right)=0\) embora estes casos extremos correspondam a triângulos degenerados.

Sendo \(\mathcal{A}\) contínua e valendo \(0\) nos extremos do domínio, tem máximo global que é atingido no interior do intervalo \(\left[0,\frac{\pi}{n+1}\right]\). Como \(\mathcal{A}\) é aqui derivável, podemos detectá-lo determinando os pontos críticos de \(\mathcal{A}\). Porém, a expressão da derivada de \(\mathcal{A}\) é complicada, e por isso é útil fazer uma pausa para conjecturar sobre que triângulo(s) de \(T_n\) com perímetro \(\mathcal{P}\) engloba(m) maior área. Com a página de webMathematica, podemos desenhar os gráficos da função área e da respectiva derivada para algumas escolhas de \(n\). Por exemplo, para \(n=2\), eles permitem-nos prever que só um triângulo maximiza a área e que não é isósceles: tem ângulo \(\angle A\thicksim41\) graus, valor que se situa estritamente entre \(\frac{\pi}{5}\) e \(\frac{\pi}{4}.\)

Para o confirmar, é mais simples usar a fórmula de Héron, que exprime a área em função dos comprimentos dos lados e do perímetro, e utilizar multiplicadores de Lagrange [2], beneficiando da caracterização \(F_{2} = 0\) descrita anteriormente (veja o exemplo abaixo).

B = 2 A

Semi-perímetro \(\mathcal{S} = 8\)
Área máxima para \(A\thicksim 41^{^{\circ}}\) \((a\thicksim4.22)\)

Fixado \(\mathcal{P}\), queremos maximizar a função \[\mathcal{A}\left(a,b\right)=\sqrt{\mathcal{S}(\mathcal{S}-a)(\mathcal{S}-b)(a+b-\mathcal{S})}\] onde \(\mathcal{S}=\frac{\mathcal{P}}{2}\) no conjunto \[\{(a,b)\in\left(\mathbb{R}^{+}\right)^{2}:g(a,b)=b^{2}-2a\mathcal{S}+ab=0\}.\]

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