Áreas

Será que existe alguma relação entre a área de um polígono (no sentido usual) e a área do polígono obtido pelas transformações que temos vindo a considerar? Tomando o caso da bissecção, temos o seguinte:

Por que é que tal acontece?

 
Para polígonos com um número de vértices superior a 4, a razão entre as áreas não é constante, podendo até a área do polígono obtido ser superior à área do polígono inicial no caso de este não ser convexo. No entanto, algo de curioso acontece: no caso de haver mais do que um polígono inicial a dar origem ao mesmo polígono (o que se verifica quando o número de vértices é par), eles têm todos a mesma área!

Por que é que tal acontece?

Nota: quando a razão entre as áreas não é constante, é fácil concluir que a área do polígono obtido não depende da área do polígono inicial. Para isso, vamos supor que temos dois polígonos iniciais \(P\) e \(Q\) que dão origem, por bissecção, aos polígonos \(P'\) e \(Q'\), respectivamente, sendo a razão entre as áreas dos polígonos \(P\) e \(P'\) diferente da razão entre as áreas dos polígonos \(Q\) e \(Q'\). Aplicando uma homotetia de razão \(r\) ao polígono \(Q\), obtenho um novo polígono \(R\) que dá origem, por bissecção, a um polígono \(R'\), sendo que os valores das áreas de \(R\) e \(R'\) são obtidos multiplicando por \(r^2\) os valores das áreas dos polígonos \(Q\) e \(Q'\), respectivamente. Mas, se \(r^2\) for igual ao quociente entre as áreas dos polígonos \(P\) e \(Q\), vem \[Área(R)\;=\;r^2 Área(Q)\;=\;\frac{Área(P)}{Área(Q)} Área(Q)\;=\;Área(P)\] \[Área(R')\;=\;r^2 Área(Q')\;=\;\frac{Área(P)}{Área(Q)} Área(Q')\;\neq\;Área(P')\] (se tivéssemos \(\frac{Área(P)}{Área(Q)} Área(Q')=Área(P')\), então viria \(\frac{Área(Q')}{Área(Q)}=\frac{Área(P')}{Área(P)}\) e a razão entre as áreas dos polígonos \(P\) e \(P'\) seria igual à razão entre as áreas dos polígonos \(Q\) e \(Q'\), o que não acontece, por hipótese). Assim, temos dois polígonos com a mesma área (\(P\) e \(R\)) mas que dão origem a polígonos com áreas diferentes (\(P'\) e \(R'\)). Logo, a área do polígono obtido não depende da área do polígono inicial.