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Dado um certo hexágono, uma maneira bastante simples de obter um novo hexágono consiste em unir os pontos médios dos seus lados por segmentos de rectas, tal como se exemplifica na seguinte figura:

Este processo será denominado por bissecção. Haverá alguma relação entre o hexágono inicial e o hexágono obtido por bissecção? O hexágono obtido poderá ser um hexágono qualquer ou terá de ter alguma característica em particular? E o que acontece com outros polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc.)?

Notemos também que, aplicando a bissecção ao hexágono obtido, temos um novo hexágono, e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos aquilo a que designaremos por uma sucessão de polígonos, uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos polígonos (neste caso, hexágonos). No caso da sucessão de hexágonos construída por bissecção, vemos que não só estes parecem ser cada vez menores, como também parecem surgir alternadamente com a mesma forma. Será que isto é sempre verdade, mesmo para outros polígonos?

Nesta página procuraremos responder a estas questões, analisando não só o caso da bissecção como também outros processos. Para isso, iremos recorrer a conhecimentos de Álgebra Linear, de modo a tirar certas conclusões relativas a processos mais gerais.


(*) Este trabalho foi realizado sob a orientação da Professora Maria Carvalho da Universidade do Porto, no âmbito de uma Bolsa atribuída pela Fundação Calouste Gulbenkian para desenvolver um projecto de divulgação da Matemática no Atractor.


Nível de dificuldade: Superior