ATRACTOR

Algo análogo em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\) ao que se fez em \(\mathbb{Z}\left[i\right]\) e \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\) seria considerar a função \(v\) definida por \(v(a+bi)=a^{2}+5b^{2}\). Queríamos então, para quaisquer \(a+bi\sqrt{5}\), \(c+di\sqrt{5}\), encontrar \(q_{1}+q_{2}\sqrt{5}\) e \(r_{1}+r_{2}\sqrt{5}\) tais que: \[a+bi\sqrt{5}=\left(c+di\sqrt{5}\right)\left(q_{1}+q_{2}i\sqrt{5}\right)+r_{1}+r_{2}i\sqrt{5},\] com \(v\left(r_{1}+r_{2}i\sqrt{5}\right)<v\left(c+di\sqrt{5}\right)\) ou \(r_{1}+r_{2}i\sqrt{5}=0\).

Cálculos parecidos com os de \(\mathbb{Z}\left[i\right]\) e \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\) levam-nos a procurar \(q_{1}+q_{2}\sqrt{5}\) e \(r_{1}+r_{2}\sqrt{5}\) tais que: \[\frac{r_{1}+r_{2}i\sqrt{5}}{c+di\sqrt{5}}=\left(\frac{ac+5bd}{c^{2}+5d^{2}}-q_{1}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^{2}+5d^{2}}-q_{2}\right)i\sqrt{5}\] e \[v\left(\frac{r_{1}+r_{2}i\sqrt{5}}{c+di\sqrt{5}}\right)<1.\]

Ora, o melhor que podemos garantir (uma vez que \(q_{1}\) e \(q_{1}\) são inteiros) é que \[\left|\frac{ac+5bd}{c^{2}+5d^{2}}-q_{1}\right|\leq\frac{1}{2}\] e \[\left|\frac{bc-ad}{c^{2}+5d^{2}}-q_{2}\right|\leq\frac{1}{2}.\]

Mas então só podemos garantir que \[\begin{array}{cl} v\left(\frac{r_{1}+r_{2}i\sqrt{5}}{c+di\sqrt{5}}\right) & \leq\left(\frac{ac+5bd}{c^{2}+5d^{2}}-q_{1}\right)^{2}+5\left(\frac{bc-ad}{c^{2}+5d^{2}}-q_{2}\right)^{2}\\ & \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}, \end{array}\] o que não é suficiente.