A curva loxodrómica e duas projecções da esfera 
Projecção de Mercator
Queremos encontrar uma projecção da esfera com as seguintes propriedades: as curvas loxodrómicas devem ser projectadas em linhas rectas e a projecção deve preservar os ângulos, ou seja, deve ser conforme. Uma projecção com estas características é a projecção de Mercator.
Se
\(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+n\pi\), com \(n\in\mathbb{Z}\), uma parametrização
da curva loxodrómica \(\ell_{\alpha}\) que passa por \(P\) com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta_{P},\varphi_{P}\right)\)
é: \[\begin{array}{ccll}
\ell_{\alpha}: & ]0\,,\pi[ & \longrightarrow & \mathbb{S}^{2}\\&
\varphi & \mapsto & \left(r\cos\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)\sen\varphi\,,\,r\sen\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)\sen\varphi\,,\,
r\cos\varphi\right)
\end{array}\,,\] com
\[\theta_\alpha(\varphi)=\theta_{P}+\tg\alpha\left[\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)-\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right]\,.\]
Considere-se um ponto \(Q\) pertencente ao traço da curva \(\ell_{\alpha}\) cujas
coordenadas esféricas são \(\left(r,\theta_{Q},\varphi_{Q}\right)\),
com \(\varphi_{Q}\in\ ]0\,,\pi[\) e \(\theta_{Q}\in[0\,,2\pi]\).
Como \(Q\) pertence ao traço da curva, então \[\theta_\alpha(\varphi_{Q})=\theta_{P}+\tg\alpha\left[\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{Q}}{2}\right)-\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right].\] Como \(\theta_\alpha\left(\varphi_{P}\right) = \theta_{P}\) obtém-se \[\tg\alpha=\frac{\theta_\alpha(\varphi_{Q}) -\theta_\alpha\left(\varphi_{P}\right)}{\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{Q}}{2}\right)-\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)}\,.\]
Se
\(\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha\) e supondo que \(\alpha\)
não é múltiplo inteiro de \(\pi\), tem-se \[
\begin{equation}
\tg\beta=\frac{\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{Q}}{2}\right)-\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)}{\theta_\alpha(\varphi_Q)-\theta_\alpha\left(\varphi_P\right)}\,.\;\;\;(1)
\end{equation}\] Observe
que em (1) \(\tg\beta\) é o declive da recta que passa
nos pontos \(\left(\theta_\alpha\left(\varphi_{P}\right)\,,\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right)\)
e \(\left(\theta_\alpha(\varphi_{Q})\,,\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{Q}}{2}\right)\right)\).
Assim, definiremos a projecção de Mercator como a função \(\mathcal{M}\) da esfera no plano que a cada ponto na esfera com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) faz corresponder um ponto no plano com coordenadas cartesianas \(\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\,,\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)\right)\). Contudo, a longitude \(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\) de um ponto na curva loxodrómica pode tomar qualquer valor real. Assim, temos que fazer uma identificação de pontos em função das suas longitudes. Queremos que o mapa represente longitudes entre \(-\pi\) e \(\pi\). Note-se também que, para um ponto \(Q\) da curva loxodrómica \(\ell_{\alpha}\), \(\theta_\alpha(\varphi_Q) \) e \(\theta_Q\) diferem por um múltiplo inteiro de \(2\pi\).
Portanto,
definimos $$\begin{array}{ccll}
\mathcal{M}: & \mathbb{R}\,\times\,]0\,,\pi[ & \longrightarrow
&\mathbb{R}^{2}\\ & \left(\theta,\varphi\right) & \mapsto
& \left(\theta-2\pi\,m\left(\theta\right)\,,\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)\right)
\end{array}\,,$$ com
\(m\left(\theta\right)=\left\lfloor \frac{\theta+\pi}{2\pi}\right\rfloor\)
o maior inteiro menor ou igual a \(\frac{\theta+\pi}{2\pi}\).
1. Se \(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+n\pi\), \(n\in\mathbb{Z}\):
A projecção da curva loxodrómica é a curva plana com parametrização
\(\mathcal{M}\circ\ell_{\alpha}\): \[\begin{array}{ccll}
\mathcal{M}\circ\ell_{\alpha}: & ]0\,,\pi[ & \longrightarrow
& \mathbb{R}^{2}\\& \varphi & \mapsto & \left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)-2\pi\,m\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)\,,\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)\right)
\end{array}\,,\] com
\[\theta_\alpha(\varphi)=\theta_{P}+\tg\alpha\left[\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)-\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right]\]
e
\[m\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)=\left\lfloor\frac{\theta_\alpha\left(\varphi\right)+\pi}{2\pi}\right\rfloor.\]
Tem-se que \[\mathcal{M}\circ\ell_{\alpha}\left(\varphi\right)=\left(-2\pi\,m\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)\,,0\right)+\left(\theta_{P}-\tg\alpha\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\,,0\right)+\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)\left(\tg\alpha,1\right)\,.\] Logo, o traço de \(\mathcal{M}\circ\ell_{\alpha}\) está contido na reunião de segmentos de recta paralelos com declive \(\frac{1}{\tg\alpha}=\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\).
Curva loxodrómica projectada no plano pela Projecção de Mercator. A latitude varia entre -80º e 80º.
2. Se \(\alpha=\frac{\pi}{2}+n\pi\), para algum \(n\in\mathbb{Z}\):
A
projecção da curva loxodrómica é parametrizada por: \[\begin{array}{ccll}
\mathcal{M}\circ\ell_{\alpha}: & \left[0\,,2\pi\right]
& \longrightarrow & \mathbb{R}^{2}\\ & \theta
& \mapsto & \left(\theta-2\pi\,m\left(\theta\right)\,,\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right)
\end{array}\,,\] com \(m\left(\theta\right)=\left\lfloor \frac{\theta+\pi}{2\pi}\right\rfloor\)
o maior inteiro menor ou igual a \(\frac{\theta+\pi}{2\pi}\).
Neste caso, o traço projectado da curva é o segmento de recta horizontal de equação \(y=\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\), com \(x\in\left[-\pi\,,\pi\right[\).
Curva loxodrómica perpendicular aos meridianos projectada no plano pela Projecção de Mercator. A latitude varia entre -80º e 80º.
Note-se que, por definição, \(\mathcal{M}\) preserva os ângulos entre as curvas loxodrómicas e os meridianos. De facto, \(\mathcal{M}\) é conforme.
