Introdução

Num veículo de quatro rodas circulares, cada par delas está unido por um eixo que passa pelos centros das rodas. O formato da roda garante que todos os pontos do seu bordo estão à mesma distância do seu centro, pelo que o eixo se desloca sem oscilações. Mas, se pretendermos transportar um objecto pesado, o sistema de rodas unidas por um eixo pode não ser suficientemente robusto e, por isso, é frequente utilizarem-se rolos: os objectos são transportados numa plataforma que rola sobre cilindros de igual secção. Também deste modo o transporte decorre sem oscilações, mas agora a propriedade responsável por este movimento suave é o facto de a circunferência ter largura constante. A diferença essencial é que no primeiro caso (carros usuais) a estrutura do carro apoia-se nos eixos, enquanto no segundo se apoia nos bordos das rodas (ou rolos).

O que significa ter largura constante?

Dada uma curva plana e fechada \(C\), a largura de \(C\) numa direcção fixada r é o comprimento do segmento de recta que se obtém projectando, em r, cada ponto de \(C\) perpendicularmente à recta \(r\). Diz-se que a largura da curva é constante se esse comprimento for o mesmo para todas as direcções do plano.

Por exemplo, uma circunferência de diâmetro \(d\) tem largura constante \(d\). Mas esta não é uma propriedade que a caracterize pois há infinitas outras curvas que a satisfazem. A mais simples é o triângulo de Reuleaux, que se obtém, a partir de um triângulo equilátero de lado \(L\), se desenharmos três arcos de circunferência com raio \(L\) e centro em cada um dos vértices do triângulo. Verifiquemos que a curva assim obtida tem largura constante \(L\).

Uma recta suporte de uma curva é uma linha que tem pelo menos um ponto de intersecção com a curva e tal que esta fica inteiramente de um dos lados da recta. Note-se que uma recta suporte pode não ser uma recta tangente; e que uma curva fechada tem exactamente duas rectas suporte em cada direcção: elas podem ser encontradas colocando a curva entre duas rectas paralelas a essa direcção e deslizando-as, mantendo o paralelismo, até tocarem a curva.

Para saber mais...


(*) Nível de dificuldade: Secundário, Superior