Dinâmica

Vejamos, em primeiro lugar, como podemos concluir a irracionalidade de $\sqrt{2}$. Dado um ponto qualquer na recta $x=\sqrt{2}y$ diferente da origem, vimos que a sucessão dos seus iterados era uma sucessão de pontos distintos nessa recta que tendiam para a origem. Supondo que as coordenadas desse ponto inicial são números inteiros, a sucessão das abcissas (ou das ordenadas) dos seus iterados seria uma sucessão limitada de números inteiros distintos, o que é absurdo (de facto, em qualquer porção limitada da recta real existe apenas um número finito de pontos de abcissa inteira). Mas, se tivéssemos MATH, com $a$ e $b$ inteiros positivos, então viria $a=\sqrt{2}b$ e o ponto $(a,b)$ seria um ponto no primeiro quadrante de coordenadas inteiras e pertencente à recta $x=\sqrt{2}y$, o que não pode acontecer. Logo, $\sqrt{2}$ é irracional (e, portanto, $-\sqrt{2}$ também o é).

Supondo agora que a diagonal $d$ e o lado $l$ do quadrado são comensuráveis, temos MATH, ou seja, $d=r.l$ para algum $r\in \U{211a} $. Como MATH, temos que $r\neq \pm \sqrt{2}$ e o ponto $(d,l)$ não está sobre nenhuma das duas rectas anteriores, logo os seus sucessivos iterados aproximam-se da recta $x=-\sqrt{2}y$ e afastam-se da recta $x=\sqrt{2}y$. Assim, a partir de uma certa ordem, pelo menos uma das coordenadas de um dos seus iterados será negativa e, como tal, não pode representar o valor de comprimentos de segmentos de recta, o que contraria o facto de, geometricamente, podermos continuar indefinidamente a construir novos quadrados. Logo, $d$ e $l$ são incomensuráveis.

Note-se que os pontos do primeiro quadrante sobre a recta $x=\sqrt{2}y$ são exactamente os pontos que correspondem a um par $(d,l)$ onde $d$ é a diagonal de um quadrado e $l$ o seu lado. De facto, tal acontece se e só se $d=\sqrt{2}l$, com $d,l>0$. Assim, partindo de um quadrado qualquer e aplicando o processo de construção de novos quadrados usado na demonstração da incomensurabilidade, obtemos uma sucessão de pontos do primeiro quadrante sobre a recta $x=\sqrt{2}y$ que correspondem aos pares ordenados de valores das diagonais e dos lados desses quadrados. Serão estes os únicos pontos para os quais os seus sucessivos iterados estão sempre no primeiro quadrante?

O applet abaixo parece sugerir que sim. Para cada valor de $n$, a região a cinzento representa o conjunto dos pontos para os quais pelo menos os seus primeiros $n$ iterados se encontram no primeiro quadrante. Aumentando o valor de $n$, podemos verificar que a região a cinzento vai sendo cada vez menor, o que sugere que apenas os pontos do primeiro quadrante sobre a recta $x=\sqrt{2}y$ se encontram na região a cinzento para qualquer valor de $n$ (note-se que os pontos cujos sucessivos iterados estão sempre no primeiro quadrante serão exactamente aqueles que se encontrarem na região a cinzento para qualquer valor de $n$).

Instruções:
Clique no ponto vermelho para variar o ponto inicial; pode também escolher se pretende ver as linhas que unem os iterados representados no gráfico, restringir o ponto inicial aos pontos dentro da região cinzenta, mudar o valor de n ao qual a região cinzenta se refere ou mudar o polígono regular em cuja demonstração geométrica de incomensurabilidade este processo dinâmico se baseia.

 

Por que é que tal acontece?

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