Dinâmica I

Na demonstração geométrica da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado de um quadrado vimos que, dado um quadrado de diagonal \(d\) e de lado \(l\), era possível obter uma sucessão de novos quadrados de diagonais \(d_{i}\) e de lados \(l_{i}\), através das fórmulas \(d_{i}=2l_{i-1}-d_{i-1}\) e \(l_{i}=d_{i-1}-l_{i-1}\), com \(d_{0}=d\) e \(l_{0}=l\). Suponhamos agora que partimos de um ponto arbitrário \((x_{0},y_{0})\) e que consideramos a sucessão de pontos definida recursivamente por \((x_{n},y_{n})=(2y_{n-1}-x_{n-1},x_{n-1}-y_{n-1})\). Marcando esses pontos num referencial ortonormado, temos uma sucessão infinita de pontos que varia conforme a escolha do ponto inicial \((x_{0},y_{0})\). O que acontecerá com esta sucessão de pontos? De que forma esta sucessão depende da escolha do ponto inicial \((x_{0},y_{0})\)? Experimente o applet abaixo, onde pode também observar o que acontece no caso do pentágono regular (considerando a primeira demonstração geométrica dada) e o que acontece no caso do hexágono regular.

Instruções:
Clique no ponto vermelho para variar o ponto inicial; pode também escolher se pretende ver as linhas que unem os iterados representados no gráfico, destacar o iterado de ordem \(n\) para \(n\) entre \(0\) e \(5\) ou mudar o polígono regular em cuja demonstração geométrica de incomensurabilidade este processo dinâmico se baseia.


O que há de semelhante entre estes 3 casos?

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