Introdução

A incomensurabilidade entre duas grandezas refere-se ao facto de a sua razão não poder ser expressa por um número racional e, consequentemente, à necessidade de outros números para se descrever completamente a realidade. Por exemplo, sabe-se que a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro é um número irracional, que se convencionou designar por \(\pi\). As primeiras demonstrações matemáticas da existência de grandezas incomensuráveis remontam à Grécia Antiga, nomeadamente à demonstração da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado, ou entre estes comprimentos num pentágono regular.

Para polígonos regulares com mais de \(5\) lados, as diagonais (segmentos de recta que unem dois vértices não adjacentes) não têm todas o mesmo comprimento. Podemos, no entanto, considerar apenas as diagonais mais curtas (as de menor comprimento) desses polígonos. E, por exemplo, no caso do hexágono regular existe uma demonstração geométrica, análoga às conhecidas para o quadrado e para o pentágono regular, que permite estabelecer a incomensurabilidade entre a sua diagonal mais curta e o seu lado. O mesmo não vale para polígonos regulares com mais de 6 lados apesar de as correspondentes grandezas serem, efectivamente, incomensuráveis.

Considerando outras diagonais, a situação é semelhante. Por exemplo, para qualquer polígono regular com mais de \(6\) lados, a segunda diagonal mais curta e o seu lado são sempre incomensuráveis, embora só existam demonstrações geométricas para o caso do octógono, do decágono e do dodecágono regulares. Relativamente à diagonal mais longa (a de maior comprimento), verifica-se que ela é sempre incomensurável com o lado de qualquer polígono regular com mais de \(6\) lados, mas de novo tal só pode ser demonstrado geometricamente no caso do decágono. Por que será que tal acontece?

Esta página pretende dar a conhecer as demonstrações geométricas referidas, assim como os argumentos algébricos que permitem não só demonstrar a incomensurabilidade para outros casos como também entender porque é que nesses casos não existe nenhuma demonstração geométrica análoga às anteriores.

Veremos também como é possível interpretar o processo de construção de novos polígonos regulares utilizados nas demonstrações geométricas de incomensurabilidade em termos de sistemas dinâmicos.


Traduzido para inglês por uma equipa do CMUC, a partir da versão original portuguesa. O Atractor agradece a sua colaboração.

(*) Este trabalho foi realizado sob a orientação da Professora Maria Carvalho da Universidade do Porto, no âmbito de uma Bolsa atribuída pela Fundação Calouste Gulbenkian para desenvolver um projecto de divulgação da Matemática no Atractor.


Nível de dificuldade: Superior