CLASSES DE CAMINHOS

 

- Homotopias

O que há de essencial no caminho numa superfície S é a aplicação de [0,1] sobre a superfície, e a interpretação "cinemático-formigal" que temos feito é apenas uma imagem intuitiva, tão boa como outra qualquer. É agora útil uma nova interpretação intuitiva: um elástico graduado. Pensamos a graduação com extremidades assinadas com 0 e 1, associando a cada posição do elástico a aplicação que a cada t de [0,1] associa a posição do ponto do elástico correspondente à graduação t. A vantagem desta interpretação é a de permitir utilizar a ideia de variação ao longo do tempo para pensar em deformações da disposição do elástico.

Esta analogia permite-nos, então, pensar numa noção importante para o desenvolvimento destas páginas: a deformação contínua. Vendo o caminho como um elástico sobre uma superfície e fixando os pontos inicial e final, podemos arrastá-lo, encolhê-lo e esticá-lo sempre sobre a superfície. Os resultados destas acções vão sendo caminhos, obviamente diferentes, no entanto, com alguma coisa em comum: o facto de se poderem deformar continuamente uns nos outros.

Matematicamente, esta noção tem o nome de homotopia e dois caminhos dizem-se homotópicos se existe uma homotopia entre eles. A homotopia reflecte o tal arrastar, encolher e esticar. Em cada instante destas acções o elástico descreve um novo caminho, e este é imagem, de alguma forma, da homotopia.

Podemos ainda olhar a aplicação de outro modo, concentrando atenções em cada um dos pontos… Assim, por exemplo, se marcarmos no elástico um dos seus pontos, de forma a que quando o movemos fique marcado o rasto desse ponto, podemos ver no fim das tais movimentações o percurso efectuado por esse ponto durante a deformação – a homotopia também reflecte esta visão.

Uma homotopia é, então, uma aplicação de duas variáveis, uma que é variável do caminho considerado em cada instante da deformação e outra que é variável do caminho percorrido por cada ponto ao longo das deformações. Considerando f e g dois caminhos de [0,1] em S, com os mesmos pontos iniciais e finais (isto é, f(0)=g(0) e f(1)=g(1)), uma homotopia H entre f e g é uma aplicação contínua de [0,1]x[0,1] em S tal que H(t,0)=f(t) e H(t,1)=g(t), que em cada instante da deformação mantém as extremidades fixadas (isto é, H(0,x)=f(0)=g(0) e H(1,x)=f(1)=g(1), para todo o t de [0,1]).

Quer isto dizer que, vendo x de [0,1] como o parâmetro temporal da deformação, no instante inicial (x=0) a imagem de H é o caminho f e no instante final (x=1) a imagem de H é o caminho g, e, como H é contínua, para cada x0 de (0,1), fixado de modo arbitrário, a imagem de H (isto é, H(t,x0)) será um daqueles caminhos obtidos pelo arrastar, encolher e esticar do elástico.

Por outro lado, fixando t0 de [0,1] de modo arbitrário, a imagem de H (isto é, H(t0,x)) é um caminho (contínuo) que descreve o movimento do ponto f(t0) até g(t0) – um daqueles caminhos marcados pelo rasto de um ponto do elástico.

Conjugando as duas ilustrações, para cada (t0,x0) de [0,1]x[0,1] a imagem por H é um ponto no espaço S, correspondendo à posição do movimento do ponto f(t0) no instante x0 da deformação.

Em cada superfície e para cada par de pontos (inicial e final), os caminhos podem ser arrumados na mesma gaveta ou em gavetas diferentes consoante são ou não homotópicos. Estas gavetas dizem-se classes de equivalência. Dois caminhos numa superfície (com os mesmo pontos inicial e final) são aqui equivalentes se forem homotópicos, isto é, se se puderem deformar continuamente um no outro.

 

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