Tira de Moebius - Conhecer a superfície

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\) Moebius

[ver applet]

Podemos pensar uma tira de Moebius como sendo a superfície que se obtém colando um par de lados paralelos de um rectângulo depois de torcer um deles uma vez. Os lados não colados vão formar, assim, uma (única!) curva fechada.

\[(u,v)\rightarrow\left(\cos(u)\left(r+v\cos\left(\frac{u}{2}\right)\right),\sen(u)\left(r+v\cos\left(\frac{u}{2}\right)\right),v\sen\left(\frac{u}{2}\right)\right).\]Os pontos dos lados do rectângulo que serão colados correspondem ao mesmo segmento na tira. Há, portanto, uma identificação (com orientações contrárias) dos pontos do par de lados paralelos, ilustrada pela sua coloração.

Desenhar uma curva na tira que atravesse a linha de colagem, corresponde, no rectângulo, a "sair" por um lado e "entrar" pelo outro a partir do ponto correspondente (a uma altura simétrica).

A longitude e a latitude dos pontos dão-nos coordenadas da sua localização sobre a superfície. A latitude varia num intervalo \(I\), simétrico e fechado, de \(\mathbb{R}\). A longitude é a medida de um ângulo (em radianos) "em redor" da superfície. Para a identificação da localização de um ponto sobre a tira precisamos apenas que a longitude varie no intervalo \(\left[0,2\pi\right[\), pois cobre toda a superfície.

No entanto, para que possamos também identificar o ponto na curva de forma contínua, podemos estender esse intervalo a intervalos múltiplos \(J\) sob a seguinte identificação: \[\begin{array}{ccc} J\times I & \rightarrow & \left[0,2\pi\right[\times I\\ (u,v) & \rightarrow & (\mbox{Mod}\left[u,2\pi\right],-v) \end{array}\]

Esta extensão materializa-se nos applets com uma mudança de escala, permitindo, assim, de forma mais cómoda analisar curvas que dão várias voltas.

E este levantamento dos caminhos na tira de Moebius pode ainda ser alargado a uma tira infinita do plano, permitindo, ao mesmo tempo, o estudo de todas as curvas sobre a superfície, sem restrição do número de voltas. Consideraríamos, de forma análoga, uma infinidade de cópias do rectângulo inicial, devidamente alinhadas e orientadas, podendo, então, dizer-se que cada ponto da tira do plano se projecta num ponto da tira de Moebius e que cada ponto da tira de Moebius admite uma infinidade de levantamentos na tira do plano, um em cada um dos rectângulos.