Viagem ao Interior de PI 
Aproximações usando \(\pi\)
Um problema igualmente interessante e diametralmente oposto ao anterior, consiste em obter números inteiros ou fracções racionais a partir de expressões que envolvam \(\pi\).
O exemplo mais conhecido é provavelmente as expressões de Roy Williams\[e^{\pi\sqrt{n}},n\in\mathbb{N}\]
Para alguns valores de \(n\)*, o resultado da expressão aproxima um inteiro.
| \(n\) | \(e^{\pi\sqrt{n}},n\in\mathbb{N}\) |
| \(1\) | \(23.\, 140\, 692\, 632\, 779\, 269\, 005\) |
| \(2\) | \(85.\, 019\, 695\, 223 \,207 \,217 \,582\) |
| \(3\) | \(230. \,764 \,588 \,319 \,145 \,879 \,240\) |
| \(7\) | \(4071. \,932 \,095 \,225 \,261 \,098 \,524\) |
| \(11\) | \(33506. \,143 \,065 \,592 \,438 \,766 \,681\) |
| \(19\) | \(885479. \,777 \,680 \,154 \,319 \,497 \,537\) |
| \(25\) | \(6635623. \,999 \,341 \,134 \,233 \,266 264\) |
| \(37\) | \(199148647.\, 999 \,978 \,046 \,551 \,856 \,766\) |
| \(43\) | \(884736743. \,999 \,777 \,466 \,034 \,906 \,661\) |
| \(58\) | \(24591257751. \,999 \,999 \,822 \,213 \,241 \,469\) |
| \(67\) | \(147197952743. \,999 \,998 \,662 \,454 \,224 \,506\) |
| \(74\) | \(545518122089. \,999 \,174 \,678 \,853 \,549 \,856\) |
| \(148\) | \(39660184000219160. \,000 \,966 \,674 \,358 \,575 \,246\) |
| \(163\) | \(262537412640768743. \,999 \,999 \,999 \,999 \,250 \,072\) |
| \(232\) | \(604729957825300084759. \,999 \,992 \,171 \,526 856\, 430\) |
| \(268\) | \(21667237292024856735768. \,000 \,292 \,038 \,842 \,412 \,959\) |
| \(522\) | \(14871070263238043663567627879007. \,999 \,848 \,726 \,482 \,794 \,814\) |
| \(652\) | \(68925893036109279891085639286943768. \,000 \,000 \,000 \,163 \,738 \,644\) |
| \(719\) | \(3842614373539548891490294277805829192. \,999 \,987 \,249 \,566 \,012 \,187\) |
* Nomeadamente os números de Heegner \(\left\{ 1,2,3,4,11,19,43,67,163\right\}.\)
Digno de registo é o valor \(e^{\pi\sqrt{163}}\) que aproxima um inteiro com um erro inferior a \(10^{-12}.\)
