Introdução

No artigo De formulis exponentialibus replicatis1, Euler considera um problema proposto por Condorcet sobre a sucessão \(c,c^{c},c^{c^{c}},c^{c^{c^{c}}},...\), sendo \(c>0\), convencendo-se, a partir de vários exemplos e alguns cálculos, de que esta sucessão converge se e só se \(c\in[e^{-e},e^{\frac{1}{e}}]\). O que é que se passa quando \(c>0\) está fora deste intervalo? E se \(c\) for complexo?

Por razões que o leitor entenderá em breve, a questão sobre o comportamento assimptótico destas sucessões de exponenciais está relacionada com outra mais simples: Para que valores reais de \(a, b > 0\) se tem \(a^{b} = b^{a}\)? A igualdade é óbvia quando \(a = b\). Para valores distintos de \(a\) e \(b\), podemos listar alguns exemplos simples, como \(3^{1}>1^{3},\) \(3^{2}>2^{3},\) \(3^{2.5}<2.5^{3},\) \(3^{4}>4^{3},\) \(3^{5}>5^{3},\) \(3^{6}>6^{3},\) \(2^{1/3}>(1/3)^{2},\) \(2^{1}>1^{2},\) \(2^{3}<3^{2},\) \(2^{4}=4^{2},\) \(2^{5}>5^{2},\) \(2^{6}>6^{2},\) \((\sqrt{2})^{1/3}>(1/3)^{\sqrt{2}},\) \((\sqrt{2})^{1}>1^{\sqrt{2}},\) \((\sqrt{2})^{2}<2^{\sqrt{2}},\) \((\sqrt{2})^{3}<3^{\sqrt{2}},\) \((\sqrt{2})^{9}>9^{\sqrt{2}}\) mas não se reconhece aqui um padrão geral. Se, porém, reescrevermos a equação \(a^{b} = b^{a}\) como \(a^{1/a} = b^{1/b}\) e esboçarmos o gráfico da função \(x>0\mapsto f(x)=x^{1/x}\), teremos uma ideia aproximada dos valores da imagem de \(f\) que são obtidos mais do que uma vez (figura 1).


Fig1: Gráficos da função \(f\)

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1Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 1 (1778) 38--60

Este trabalho integra componentes interactivas em formato CDF preparadas com o programa Mathematica. Para a utilização desses ficheiros deve estar instalado no computador o CDF Player que pode ser importado sem encargos a partir de http://wolfram.com/cdf-player