A soma modular como a soma de dois arcos de circunferência

(Aritmética modular)

A Aritmética Modular é também conhecida por Aritmética Circular. E porquê?

Suponhamos que temos o número \(0\). Se lhe somarmos \(1\) dá \(1\). Se ao anterior somarmos outra vez \(1\) dá \(2\). Se ao anterior somarmos outra vez \(1\) dá \(3\). E se continuarmos este processo (somar sempre mais uma unidade) indefinidamente? No caso dos números naturais é óbvio que este número que está a ser sucessivamente construído vai ser cada vez maior. E na Aritmética Modular? Será que acontece o mesmo? A resposta é não. Vejamos o exemplo da Aritmética Módulo \(12\). Esta construção é igual à dos números naturais até chegarmos ao número \(11\). O que acontece a seguir? Quando somamos \(1\) ao \(11\), módulo \(12\), o resultado que nos dá é zero e portanto voltamos ao início do processo. Quando chegarmos novamente ao \(11\) voltamos a ir para zero e assim sucessivamente, entrando este processo em ciclo. Note que esta não é uma propriedade exclusiva do módulo \(12\). Esta é uma das razões pela qual podemos afirmar que esta aritmética é circular.

Como é que podemos aproveitar esta propriedade para determinar a soma modular de dois números (\(a\) e \(b\))? Vejamos, por exemplo, o caso da Aritmética Módulo \(12\):

Então, o valor da soma modular dos números \(a\) e \(b\) corresponde ao último arco construído (ao qual é retirado o valor de uma circunferência, caso este novo arco tenha "dado mais de uma volta").

Para se perceber melhor o que se está fazer, veja o seguinte applet.