Um sistema óptimo

Vejamos um sistema de controlo "óptimo", baseado nas ideias de Verhoeff e na Teoria dos Grupos.

Consideremos um pentágono regular. É fácil verificar que o conjunto das simetrias de um pentágono regular (ao qual é dada a designação de grupo diedral \(D_{5}\)) tem apenas \(10\) elementos (\(5\) rotações e \(5\) reflexões).

Vamos numerar cada uma dessas simetrias do seguinte modo:

\(0\) Identidade (Rotação de ângulo 0)
\(1\) Rotação de ângulo \(\frac{1}{5} \times 2\pi\)
\(2\) Rotação de ângulo \(\frac{2}{5} \times 2\pi\)
\(3\) Rotação de ângulo \(\frac{3}{5} \times 2\pi\)
\(4\) Rotação de ângulo \(\frac{4}{5} \times 2\pi\)
\(5\) Reflexão em relação à recta \(r_{1}\)
\(6\) Reflexão em relação à recta \(r_{2}\)
\(7\) Reflexão em relação à recta \(r_{3}\)
\(8\) Reflexão em relação à recta \(r_{4}\)
\(9\) Reflexão em relação à recta \(r_{5}\)

Vamos também definir uma operação neste conjunto de simetrias. Suponhamos que queremos operar \(4\) com \(8\). Para isso, apliquemos ao nosso pentágono [ABCDE] a simetria associada a \(4\); obtemos o pentágono [BCDEA]:

Apliquemos agora a este pentágono a simetria associada ao número \(8\); obtemos o pentágono [DCBAE]:

Mas existe uma simetria na nossa tabela que permite "ir directamente" do pentágono [ABCDE] para o pentágono [DCBAE], que é a simetria associada a \(7\). Logo, consideramos que \(4\) operado com \(8\), dá \(7\). Simbolicamente, denotando o nosso operador por *, escrevemos que \(4 *8 = 7\).

Por um processo análogo a este, podemos concluir que o nosso novo operador pode ser definido pela tabela:

Operação do grupo diedral \(D_{5}\)



Note-se que este operador é bastante diferente dos operadores usuais como a soma e a multiplicação aritmética. Em particular, note-se que este operador não é comutativo.


Vejamos um exemplo de um sistema de controlo para números de identificação com \(8\) algarismos \[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}x_{7}x_{8}\] usando este operador (de facto, um sistema similar a este serviria para números formados por um qualquer número de algarismos).

Seja \(C\), o nosso algarismo de controlo: \[C=\theta(x_{1})*x_{2}*\theta(x_{3})*x_{4}*\theta(x_{5})*x_{6}*\theta(x_{7})*x_{8}\] onde se considera a permutação anti-simétrica \[\theta=(14)(23)(58697).\]

Para quem não está familiarizado com a notação das permutações, pode encarar esta permutação como sendo uma função tal que: \(\theta(1)=4\), \(\theta(2)=3\), \(\theta(3)=2\), \(\theta(4)=1\), \(\theta(5)=8\), \(\theta(6)=9\), \(\theta(7)=5\), \(\theta(8)=6\) e \(\theta(9)=7\).

Vejamos, por exemplo, o caso do número \(12345678\). O seu algarismo de controlo será: \[C=\theta(x_{1})*x_{2}*\theta(x_{3})*x_{4}*\theta(x_{5})*x_{6}*\theta(x_{7})*x_{8}=\] \[=\theta(1)*2*\theta(3)*4*\theta(5)*6*\theta(7)*8=4*2*2*4*8*6*5*8\]

Agora, seguindo a tabela do operador do grupo diedral \(D_{5}\) , tem-se que \(4 * 2 = 1\) e, portanto, o algarismo de controlo será \[C=1*2*4*8*6*5*8.\]

Procedendo de forma análoga, obtém-se \[C=3*4*8*6*5*8=2*8*6*5*8=5*6*5*8=4*5*8=9*8=1.\]

Tente calcular o algarismo de controlo de outros números usando este sistema, e confirme os seus resultados no seguinte applet.

Mas quais são as grandes vantagens deste sistema?