Introdução

Evocaremos aqui um célebre problema de geometria proposto por Jakob Steiner e compará-lo-emos com um outro que é usual designar por Hexlet. Como veremos, as respostas a ambos utilizam, na demonstração, ideias e ferramentas análogas. No entanto, mesmo após o conhecimento da resposta ao primeiro e da sua justificação, a resposta ao segundo é, em geral, uma surpresa.

O Porisma de Steiner tem a ver com o seguinte: fixado um par de circunferências1 disjuntas no plano, será sempre possível construir uma sucessão finita de \(n\geq3\) circunferências, todas tangentes às duas iniciais e tal que cada uma das novas seja tangente à anterior e a última seja tangente não só à anterior mas também à primeira2?

A primeira figura mostra uma escolha do par inicial em que é possível. Da segunda figura não concluímos nada imediatamente: começando pela circunferência azul claro dessa figura, o anel não fecha, mas a priori poderíamos imaginar que, para uma posição diferente da circunferência inicial do anel, o novo anel já fechasse (ver figura 3).

Note-se que as duas circunferências do par inicial podem ser exteriores ‒ é o caso das figuras 4 e 5: na primeira, as do anel também são exteriores, na segunda uma das do anel envolve todas. Mas há um caso particular, o de as duas circunferências iniciais serem concêntricas (ver figuras 6, 7, 8, 9), em que podemos claramente concluir que, se um anel fecha (respectivamente não fecha), qualquer outro anel fecha (respectivamente não fecha).


1Representadas com as cores castanha e verde escura nas figuras 1 a 3.
2Neste texto, estamos a supor que só os pontos de tangência estão em mais do que uma circunferência da sucessão. Aqui acede a um applet em que é possível construir sucessões sem esta condição: elas podem fechar ao fim de mais de uma volta.

Traduzido para inglês por uma equipa do CMUC, a partir da versão original portuguesa. O Atractor agradece a sua colaboração.