Introdução

Vamos descrever alguns modelos do jogo das Torres de Hanói que permitem uma visão geométrica da solução óptima do jogo e da forma como essa solução se relaciona com o conjunto de todas as posições possíveis dos discos e o de todos os movimentos permitidos pelas regras do jogo.

Comecemos por recordar que neste jogo há um tabuleiro com três hastes e discos empilhados numa delas, nunca devendo estar um disco sobre outro mais pequeno. Em cada jogada, move-se um disco de cima de uma haste para outra. O objectivo é o de mudar todos os discos para uma dada haste no mínimo de jogadas. A propósito, veja-se [1] e [2].

Fig. 1

Uma ideia muito simples que ocorre, ao querermos associar a uma distribuição dos três discos pelas hastes um ponto que a caracterize, é a seguinte: escolher no triângulo da base do jogo com vértices nos centros dessas hastes, a projecção no tabuleiro, do baricentro das massas (dessa distribuição). Claro que os pontos concretos assim obtidos vão depender em geral das razões entre as massas dos diferentes discos, excepto quando todos os discos estão numa mesma haste, caso em que o baricentro será sempre o ponto do tabuleiro no centro dessa haste. E estes casos extremos, em que todos os discos estão empilhados numa haste, são interessantes, pois tanto a posição inicial como a final do jogo estão nessas condições.

Fig. 2

A figura 1 representa uma fase do jogo no qual se pretende levar quatro discos inicialmente na haste de baixo para a haste da direita. Quanto à figura 2, mostra os baricentros dos discos, correspondentes às diferentes fases desse jogo completo. A curva poligonal, começando no vértice inferior do triângulo, que é o baricentro da torre inicial de discos, e terminando no vértice da direita, baricentro da torre de chegada, foi desenhada unindo por segmentos de recta os baricentros obtidos após cada jogada, cada um com a cor do disco que foi movido nessa jogada. Não espanta que o segmento maior seja o azul, dado que o disco azul é o de maior massa e, portanto, aquele que, quando é movido, provoca uma maior alteração do centro de massa (baricentro). Um aspecto interessante da figura 2 é os 15 segmentos da figura só representarem três direcções diferentes. Isto resulta de que: i) num sistema (finito) de massas, quando uma delas se desloca numa dada direcção, o baricentro também se vai deslocar na mesma direcção; ii) no caso presente, o movimento de um disco realiza-se sempre entre um par de hastes; iii) sendo três o número de hastes, também é três o número de pares de hastes. Como exercício, o leitor poderá querer descobrir qual o ponto na figura 2 que corresponde à posição dos discos representada na figura 1.

Feita esta apresentação do que se pretende, vamos agora ver alguns cuidados que é necessário ter para o modelo realmente funcionar como queremos. Será que o modelo é bom?

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Este trabalho integra componentes interactivas em formato CDF preparadas com o programa Mathematica. Para a utilização desses ficheiros deve estar instalado no computador o CDF Player que pode ser importado sem encargos a partir de http://wolfram.com/cdf-player