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Nota: para aceder à parte interactiva, deverá ter instalado o Mathematica Player (autonomamente ou como plug-in do browser)

(Ao abrir um ficheiro interactivo CDF, clique em "Enable Dynamics"; depois, se usar o Player, F12 passa a ecrã inteiro).

No artigo do Atractor, "Jogos isomorfos", publicado no nº 169 da Gazeta da Matemática, da SPM, são apresentadas relações entre o jogo das torres de Hanói e um jogo de lâmpadas:

Para aceder ao texto completo do artigo, clique aqui. Para jogar ambos os jogos ou ler alguma informação prática sobre eles, continue a leitura desta página.

No jogo das lâmpadas, o objectivo é partir de uma fila de lâmpadas apagadas e conseguir que só a da direita esteja acesa.
Clicando numa das lâmpadas, ou só essa muda de estado, ou ficam todas no estado em que estavam. Qual das duas ocorrências tem lugar, dependerá, segundo uma regra precisa, do estado das lâmpadas da fila. Neste programa, pode tentar descobrir quais são essas regras (clicando nas diferentes lâmpadas).

(Se não conseguir descobrir a regra, veja a descrição dada no fim do texto da Gazeta)

Conforme tratado no artigo, este jogo é equivalente a uma versão especial do jogo das torres de Hanói. Veja como, resolvendo um deles, encontra solução para o outro.
Neste programa, pode optar pela versão clássica do jogo das Torres de Hanói, que não é equivalente ao jogo das lâmpadas, ou pela outra versão especial. Se escolher a versão especial, dada a equivalência referida, pode avançar simultaneamente em ambos os jogos, clicando, em cada momento, no jogo das Torres de Hanói ou no das lâmpadas:

Nos exemplos acima, é equivalente mudar o disco da haste 1 para a 2 (fig 1) ou clicar na lâmpada indicada (fig 2).

Usando o processo indicado na figura 1 ou na 2, o resultado final é o mesmo.

E pode observar que, ao jogar a versão especial, na precisa jogada com que consegue encontrar a posição final para um dos jogos, consegue também encontrar a posição final para o outro.

Vejamos agora o que sucede quando escolhe a versão clássica do jogo das Torres de Hanói. Só há uma maneira de o resolver com mínimo número de jogadas. Por exemplo, para três discos, a solução no número mínimo de jogadas requer as 7 jogadas seguintes.

Haste 1 Haste 2 Haste 3
Partida verde, vermelho, azul
1 vermelho, azul verde
2 azul verde vermelho
3 azul verde, vermelho
4 azul verde, vermelho
5 verde azul vermelho
6 verde vermelho, azul
7 verde, vermelho, azul

Confirme os dados da tabela nas imagens seguintes:

Chamaremos caminho mínimo ao conjunto de todas as "posições" intermédias dos discos nas hastes, quando resolve o jogo no número mínimo de jogadas. No caso acima, o caminho mínimo será:

{((verde, vermelho, azul),(),()),  ((vermelho, azul), (verde), ()),  ((azul), (verde), (vermelho)),  ((azul), (), (verde, vermelho)), ((), (azul), (verde, vermelho)),  ((verde), (azul), (vermelho)),  ((verde), (vermelho, azul), ()),  ((), (verde, vermelho, azul),())}.

Com esta terminologia, note-se que, mesmo sem se sair do caminho mínimo, pode-se usar muito mais que o número mínimo de jogadas se, ao percorrê-lo, se andar para a frente e para trás uma ou mais vezes. (Pelo contrário, se nunca se desfizer a jogada anterior, só há uma forma de percorrer o caminho mínimo.)

Enquanto não se sair do caminho mínimo, continuará a haver uma correspondência entre o jogo das torres de Hanói (versão clássica) e o das lâmpadas. E desfazer a jogada anterior nas torres corresponderá a repor o estado anterior da última lâmpada que tiver mudado de estado.

No momento em que fizer uma jogada com os discos, que saia desse caminho mínimo, tal correspondência é quebrada e as lâmpadas desaparecem. É o que acontece no caso abaixo (na versão clássica bicolor), em que a posição apresentada em 4 não corresponde a um elemento do caminho mínimo e, portanto, é interrompida a correspondência com o jogo das lâmpadas: elas desaparecem.

Experimente jogar a versão clássica em 2 casos diferentes: só com 2 cores ou com tantas cores quantos os discos. Ao jogar com os discos, em qual dos casos é mais fácil não sair do caminho mínimo?
Quando se sentir familiarizado com os dois jogos, aumente o número de discos/lâmpadas.


Este trabalho integra componentes interactivas em formato CDF preparadas com o programa Mathematica. Para a utilização desses ficheiros, deverá importá-los para o seu computador e aceder-lhes com o CDF Player, que pode ser importado sem encargos a partir de http://wolfram.com/cdf-player

(*) Nível de dificuldade: Secundário, Superior