Cobertura de um conjunto convexo por homotéticos seus mais pequenos

Definição:

Diz-se que \(F'\) é um conjunto homotético mais pequeno de \(F\) se \(F'\) for a imagem de \(F\) por uma homotetia \(h\) de centro \(O\) e razão positiva \(k<1\).

Para cobrir um círculo são precisos pelo menos três círculos homotéticos mais pequenos!

Isto pode ser observado e testado no applet seguinte, onde todos os pontos a vermelho podem ser movidos.

O círculo preto é o círculo original que queremos cobrir com os círculos \(c1\) (verde) e \(c2\) (azul) e \(c3\) (vermelho). Os pontos \(k1\), \(k2\), \(k3\) representam as razões das homotetias e \(O1\), \(O2\), \(O3\) são os centros das homotetias. Sem ver o círculo \(c3\), mova os pontos \(k1\) e \(k2\) para ver se consegue cobrir o círculo só com dois círculos homotéticos mais pequenos. (Atenção que, segundo a definição, para ter um círculo homotético mais pequeno, a razão \(k\) da homotetia tem de ser menor que 1.) Não consegue? Então tente mudar também um pouco a posição dos centros das homotetias... Na verdade dois círculos não são suficientes!

Clique no botão para mostrar o terceiro círculo homotético mais pequeno e assim já conseguirá formar a cobertura desejada.

(Os applets seguintes foram produzidos com o auxílio do JavaSketchpad)

Clique no terceiro botão para saber por que é que dois círculos homotéticos mais pequenos não são suficientes para cobrir o círculo. O ponto \(A\) (ou então o seu antípoda) não é coberto pelos dois círculos pois

\(\overline{AC1}>\overline{AC} = \) raio de \(c\) e \(\overline{AC2}>\overline{AC} = \) raio de \(c\)

e, como as razões das homotetias \(h1\) e \(h2\) são menores que 1, os círculos homotéticos mais pequenos \(c1\) e \(c2\) têm raios sempre menores que o raio do círculo \(c\).

Para cobrir um paralelogramo são precisos pelo menos quatro paralelogramos homotéticos mais pequenos!

Isto pode ser observado e testado no applet seguinte, onde todos os pontos a vermelho podem ser movidos.

O paralelogramo preto é o paralelogramo original que pretendemos cobrir. Cada um dos outros paralelogramos coloridos é imagem deste por uma homotetia de razão menor que 1. Os pontos \(k1\), \(k2\), \(k3\) e \(k4\) representam as razões das homotetias e \(O1\), \(O2\), \(O3\) e \(O4\) são os centros das homotetias. Sem ver o 4º paralelogramo, mova os pontos \(k1\), \(k2\) e \(k3\) para ver se consegue cobrir o paralelogramo só com três paralelogramos homotéticos mais pequenos. Não consegue? Então tente mudar também um pouco a posição dos centros das homotetias... Na verdade, três paralelogramos não são suficientes! Clique no botão, para mostrar o quarto paralelogramo homotético mais pequeno: assim já conseguirá formar a cobertura desejada.

Na verdade, como os lados dos paralelogramos homotéticos se mantêm paralelos aos lados do paralelogramo original e como a razão das homotetias não pode ser 1, cada paralelogramo homotético mais pequeno cobre no máximo um vértice do paralelogramo original; é portanto necessário ter no mínimo um para cobrir cada vértice, ou seja, são necessários 4 paralelogramos homotéticos mais pequenos para obter a cobertura desejada.

Do mesmo modo se pode observar que o número mínimo de conjuntos homotéticos necessários para cobrir um paralelepípedo é oito. E se generalizarmos a um espaço de dimensão \(n\), temos também que um paralelepípedo \(n\)-dimensional pode ser coberto por \(2^{n}\) paralelepípedos homotéticos mais pequenos e não por menos.

Consegue-se cobrir qualquer conjunto convexo limitado do plano que não seja um paralelogramo com três seus conjuntos homotéticos mais pequenos.

Pode experimentar este resultado no sketch seguinte, alterando a figura original, que está a preto, tendo em atenção que a figura deve ser convexa (e também não pode ser um paralelogramo, pois nesse caso seriam necessárias quatro homotetias) e movendo os centros das homotetias, aumentando e diminuindo as razões, que devem ser menores que 1 para os conjuntos homotéticos serem mais pequenos do que o conjunto original.

Tentou-se generalizar este resultado a outras dimensões com a seguinte conjectura:

Conjectura de Hadwiger (1957):

O número mínimo de conjuntos convexos homotéticos mais pequenos com os quais é possível cobrir um corpo convexo limitado de dimensão \(n\), que não seja um paralelepípedo \(n\)-dimensional, é menor que \(2^{n}\); esse número é igual a \(2^{n}\) apenas para o caso do paralelepípedo \(n\)-dimensional.

Contudo, esta conjectura ainda não foi provada nem refutada, nem mesmo para o caso em que \(n=3\).

Foram provados, porém, alguns resultados mais fracos. Seja \(b(F)\) o número mínimo de conjuntos homotéticos mais pequenos de \(F\) com os quais é possível cobrir \(F\). Foram provados os seguintes limites superiores para certos conjuntos especiais:

Existe também um limite inferior para este número: