Introdução

Dado um cone e um plano, não passando pelo vértice, há sempre uma ou duas esferas tangentes simultaneamente ao cone e ao plano: diz(em)-se esfera(s) de Dandelin.
A curva de intersecção do plano com o cone é uma cónica e o(s) ponto(s) de tangência da(s) esfera(s) com o plano é(são) o(s) foco(s) dessa cónica.
A consideração desta(s) esfera(s) de Dandelin permite facilmente demonstrar que as cónicas, vistas como intersecção de um plano com um cone, são as mesmas curvas que as definidas num plano da maneira usual, à custa das conhecidas propriedades métricas envolvendo os focos.

Os applets seguintes permitem desde já observar a variação da(s) esfera(s) de Dandelin em função de vários parâmetros.

  1. Dada uma cónica e uma esfera de Dandelin de raio \(r\), construção do cone (que seccionado pelo plano da cónica produz aquela cónica e que é tangente à esfera) e da outra esfera de Dandelin, caso exista.
    • Caso 1: a cónica é uma elipse dada pelo semi-eixo maior e pela semi-distância focal.
    • Caso 2: a cónica é uma parábola dada pela distância entre o seu vértice e o foco.
    • Caso 3: a cónica é uma hipérbole dada pela distância entre o seu centro e os vértices e pela distância entre o seu centro e os focos.
  2. Caso 4: dado um cone de semi-abertura variável e um plano de inclinação e altura variáveis construção da secção produzida pelo plano no cone. O cone é constituído por grelha de beirinhas que abrem e fecham buracos, permitindo ou não a vizualização para o interior do cone.

(*) Os applets foram construídos no âmbito da participação do Atractor e do Ciência Viva no projecto europeu PENCIL.


Nível de dificuldade: Secundário, Superior