Conjecturas I

Conjectura 1

Em base \(2\), para qualquer \(D\), todos os ciclos em \(N_{D}\) têm período \(1\).


Conjectura 2

Analisemos as figuras e tabelas seguintes, das dinâmicas em base \(2\).

Ciclos e pré-ciclos em \(f_{4,2}\).

\(D\) \(4\)
N.º de ciclos \(4\)
N.º de pré-imagens de cada ciclo \(2,4,4,6\)
\(\mbox{Total}=2\,(1+2+2+3)=16=2^{4}\)
Soma (em base 10) dos números das pré-imagens de cada ciclo \(15,30,30,45\)
\(\mbox{Total}=15\,(1+2+2+3)\) \(=15\times 8\) \(=\left(2^{4}-1\right)2^{3}\)

Ciclos e pré-ciclos em \(f_{6,2}\).

\(D\) \(6\)
N.º de ciclos \(8\)
N.º de pré-imagens de cada ciclo \(2,\) \(4,\) \(4,\) \(4,\) \(10,\) \(10,\) \(14,\) \(16\)
\(\mbox{Total}=2\,(1+2+2+2+5+5+7+8)\) \(=64\) \(=2^{6}\)
Soma (em base 10) dos números das pré-imagens de cada ciclo \(63,\) \(126,\) \(126,\) \(126,\) \(315,\) \(315,\) \(441,\) \(504\)
\(\mbox{Total}=63\,(1+2+2+2+5+5+7+8)\) \(=63\times 32\) \(=\left(2^{6}-1\right)2^{5}\)

Ciclos e pré-ciclos em \(f_{8,2}\).

\(D\) \(8\)
N.º de ciclos \(16\)
N.º de pré-imagens de cada ciclo \(2,\) \(4,\) \(4,\) \(4,\) \(4,\) \(8,\) \(10,\) \(10,\) \(12,\) \(12,\) \(16,\) \(24,\) \(24,\) \(34,\) \(34,\) \(54\)
\(\mbox{Total}=2\,(1+2+2+2+2+4+5+5+6+6+8+12+12+17+17+27)\) \(=256\) \(=2^{8}\)
Soma (em base 10) dos números das pré-imagens de cada ciclo \(255,\) \(510,\) \(510,\) \(510,\) \(510,\) \(1020,\) \(1275,\) \(1275,\) \(1530,\) \(1530,\) \(2040,\) \(3060,\) \(3060,\) \(4335,\) \(4335,\) \(6885\)
\(\mbox{Total}=255\,(1+2+2+2+2+4+5+5+6+6+8+12+12+17+17+27)\) \(=255\times 128\) \(=\left(2^{8}-1\right)2^{7}\)

Mais geralmente, em base 2:

Em particular, concluímos que a soma de todas as pré-imagens dos \(2^{\frac{D}{2 }}\) ciclos fixos é \[\sum_{i=1}^{m}\left(2^{D}-1\right)p_{i}=\left(2^{D}-1\right)2^{D-1}=\frac{\left(2^{D}-1\right)2^{D}}{2}\] \[= \mbox{soma de todos os naturais de }1 \mbox{ a }2^{D}-1.\]

Ou seja, a prova desta conjectura garante que a primeira conjectura é também válida.

Nota: Uma propriedade análoga, sobre o número de pré-imagens dos ciclos fixos e respectiva soma, parece valer nas outras bases.