Dinâmica de um truque 
O caso com quatro ou mais algarismos
Que propriedades tem este sistema dinâmico quando consideramos números com quatro ou mais dígitos? Seja \(N_{D}\) o conjunto de naturais com \(D\) dígitos de \(\{0,1,…,9\}\), permitindo-se zeros à esquerda; e seja \(i_{D}:N_{D}\rightarrow N_{D}\) a função definida da seguinte forma: a \(0\) associa \(0\) e a cada \(x\) não nulo de \(N_{D}\), escrito na base \(10\) e representado por \(D\) dígitos \[x=x_{D-1}...x_{m}x_{m-1}...x_{1}x_{0},\] com \(m=\mbox{máximo }\{i: 0\leq i\leq D-1 \land x_{i}\neq 0\}\), associa o natural \[i_{D}(x)=x_{0}x_{1} ...x_{m-1}x_{m}...x_{D-1}\] obtido invertendo a ordem dos dígitos de \(x\).
Se \(f_{D}\) designa a função \(N_{D}\rightarrow N_{D}\) definida por \(f_{D}(x)=\left|x-i_{D}(x)\right|\), todos os números da imagem de \(f_{D}\) são múltiplos de \(9\) (e, quando \(D\) é ímpar, são simultaneamente múltiplos de \(9\) e de \(11\)).
De facto, essa imagem reduz-se a \(\frac{19^{\frac{D}{2}} +1}{2}\) elementos se \(D\) é par, e a \(\frac{19^{\frac{D-1}{2}} +1}{2}\) se \(D\) é ímpar (ver demonstração). Além disso, como \(N_{D}\) é finito, cada órbita de \(f_{D}\) tem de terminar num ciclo cujos elementos estão na imagem de \(f_{D}\).
A tabela abaixo reúne alguma informação sobre a dinâmica de \(f_{D}\) para \(1\leq D\leq 11\): quantos ciclos tem, os respetivos períodos e, para \(1\leq D\leq 7\), os pré-períodos máximos.
| \(D\) | N.º de ciclos | Períodos | Pré-período máximo | [Período; Número de ciclos por período] |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \([1; 1]\) |
| \(2\) | \(2\) | \(1,\) \(5\) | \(2\) | \([1; 1],\) \([5; 1]\) |
| \(3\) | \(2\) | \(1,\) \(5\) | \(2\) | \([1; 1],\) \([5; 1]\) |
| \(4\) | \(5\) | \(1,\) \(2,\) \(5\) | \(12\) | \([1; 1],\) \([2;1],\) \([5; 3]\) |
| \(5\) | \(5\) | \(1,\) \(2,\) \(5\) | \(12\) | \([1; 1],\) \([2;1],\) \([5; 3]\) |
| \(6\) | \(12\) | \(1,\) \(2,\) \(5,\) \(9,\) \(18\) | \(47\) | \([ 1; 1 ],\) \([ 2; 2 ],\) \([ 5; 7 ],\) \([ 9; 1 ],\) \([ 18; 1 ]\) |
| \(7\) | \(12\) | \(1,\) \(2,\) \(5,\) \(9,\) \(18\) | \(47\) | \([ 1; 1 ],\) \([ 2; 2 ],\) \([ 5; 7 ],\) \([ 9; 1 ],\) \([ 18; 1 ]\) |
| \(8\) | \(26\) | \(1,\) \(2,\) \(5,\) \(9,\) \( 10,\) \(14,\) \(18\) | \([ 1; 1 ],\) \([ 2; 4 ],\) \([ 5; 15 ],\) \([ 9; 2 ],\) \([ 10; 1 ],\) \([ 14;1 ],\) \([ 18; 2 ]\) | |
| \(9\) | \(26\) | \(1,\) \(2,\) \(5,\) \(9,\) \( 10,\) \(14,\) \(18\) | \([ 1; 1 ],\) \([ 2; 4 ],\) \([ 5; 15 ],\) \([ 9; 2 ],\) \([ 10; 1 ],\) \([ 14;1 ],\) \([ 18; 2 ]\) | |
| \(10\) | \(49\) | \(1,\) \(2,\) \(5,\) \(9,\) \( 10,\) \(14,\) \(18\) | \([ 1; 1 ],\) \([ 2; 7 ],\) \([ 5; 31 ],\) \([ 9; 3 ],\) \([ 10; 2 ],\) \([ 14; 2 ],\) \([ 18; 3 ]\) | |
| \(11\) | \(49\) | \(1,\) \(2,\) \(5,\) \(9,\) \( 10,\) \(14,\) \(18\) | \([ 1; 1 ],\) \([ 2; 7 ],\) \([ 5; 31 ],\) \([ 9; 3 ],\) \([ 10; 2 ],\) \([ 14; 2 ],\) \([ 18; 3 ]\) |
Ciclo de período \(2\) de \(N_{4}\) com as suas pré-imagens.
Pode clicar na imagem para a ver em tamanho maior.
